18В. Диагональ AC трапеции ABCD с основаниями BC и AD является биссектрисой угла BCD.
а) Докажите, что AD = CD.
б) Прямая, проходящая через вершину D перпендикулярно AC, пересекает боковую сторону AB в точке M. Найдите отношение BM : AM, если AD = 2BC.
б) Пусть \(DM \cap AC = K,\,\,\,DM \cap BC = O.\) Так как в равнобедренном треугольнике ACD \(DK \bot AC,\) то DK является медианой и \(AK = KC.\) Поэтому треугольники OKC и AKD равны (по стороне \(AK = KC\) и двум прилежащим к ней углам: \(\angle OKC = \angle AKD,\,\,\,\angle KCO = \angle KAD\)). Пусть \(BC = x,\,\,\,AD = 2BC = 2x,\) тогда: \(OC = AD = 2x;\,\,\,OB = OC-BC = 2x-x = x.\) Треугольники OMB и AMD подобны (по двум углам: \(\angle BOM = \angle ADM\) как накрест лежащие, \(\angle OMB = \angle AMD\) как вертикальные). Следовательно, \(\frac{{BM}}{{AM}} = \frac{{OB}}{{AD}} = \frac{x}{{2x}} = \frac{1}{2}.\) Ответ: \(1:2.\)
а) Так как CA – биссектриса, то \(\angle BCA = \angle ACD\), а \(\angle BCA = \angle CAD\) как накрест лежащие. Следовательно, \(\angle ACD = \angle CAD\) и треугольник ACD – равнобедренный, \(AD = CD.\) Что и требовалось доказать.