19В. Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно, а диагонали AC и BD — в точках K и L соответственно, причём точка K лежит между M и L.
а) Докажите, что ML = KN.
б) Найдите MN, если BC = 2, AD = 3 и MK : KL : LN = 3 : 1 : 3.
\(KN = LN + KL,\,\,\,ML = MK + KL = LN + KL\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,ML = KN.\) Что и требовалось доказать. б) Треугольники ABD и MBL подобны (по двум углам: \(\angle BAD = \angle BML\) как односторонние, \(\angle ABD\) — общий). Тогда: \(\frac{{AD}}{{ML}} = \frac{{AB}}{{MB}} = \frac{3}{{4x}}.\) Из подобных треугольников AMK и ABC: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MK}}{{BC}} = \frac{{3x}}{2},\) причём \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AB-MB}}{{AB}}.\) Следовательно, \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{3x}}{2} = \frac{{AB-MB}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AB}}-\frac{{MB}}{{AB}} = 1-\frac{{4x}}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{3x}}{2} = 1-\frac{{4x}}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \frac{6}{{17}}.\) Так как \(MN = 3x + x + 3x = 7x,\) то \(MN = 7 \cdot \frac{6}{{17}} = \frac{{42}}{{17}}.\) Ответ: \(\frac{{42}}{{17}}.\)
а) Треугольники AMK и ABC подобны (по двум углам: \(\angle BAC\) — общий, \(\angle AMK = \angle ABC\) как односторонние), поэтому: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MK}}{{BC}}.\) Треугольники LND и BCD также подобны (по двум углам: \(\angle BDC\) — общий, \(\angle LND = \angle BCD\) как односторонние), поэтому: \(\frac{{DN}}{{DC}} = \frac{{LN}}{{BC}}.\) Так как \(MN\parallel BC\parallel AD,\) то \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{DN}}{{DC}}.\) Тогда: \(\frac{{MK}}{{BC}} = \frac{{LN}}{{BC}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,MK = LN.\) Следовательно,