19В.  Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно, а диагонали AC и BD — в точках K и L соответственно, причём точка K лежит между M и L.

а) Докажите, что ML = KN.

б) Найдите MN, если BC = 2, AD = 3 и MK : KL : LN = 3 : 1 : 3.

Ответ

ОТВЕТ:  \(\dfrac{{42}}{{17}}.\)

Решение

а) Треугольники AMK и ABC подобны (по двум углам: \(\angle BAC\)— общий, \(\angle AMK = \angle ABC\) как односторонние), поэтому: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{MK}}{{BC}}.\) Треугольники LND и BCD также подобны (по двум углам: \(\angle BDC\)-общий, \(\angle LND = \angle BCD\) как односторонние), поэтому: \(\dfrac{{DN}}{{DC}} = \dfrac{{LN}}{{BC}}.\) Так как \(MN\parallel BC\parallel AD,\) то \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{DN}}{{DC}}.\) Тогда: \(\dfrac{{MK}}{{BC}} = \dfrac{{LN}}{{BC}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,MK = LN.\) Следовательно,

\(KN = LN + KL,\,\,\,ML = MK + KL = LN + KL\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,ML = KN.\)

Что и требовалось доказать.

б) Треугольники ABD и MBL подобны (по двум углам: \(\angle BAD = \angle BML\) как односторонние, \(\angle ABD\)-общий). Тогда: \(\dfrac{{AD}}{{ML}} = \dfrac{{AB}}{{MB}} = \dfrac{3}{{4x}}.\) Из подобных треугольников AMK и ABC: \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{MK}}{{BC}} = \dfrac{{3x}}{2},\) причём \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AB-MB}}{{AB}}.\) Следовательно,

\(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{3x}}{2} = \dfrac{{AB-MB}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AB}}-\dfrac{{MB}}{{AB}} = 1-\dfrac{{4x}}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{3x}}{2} = 1-\dfrac{{4x}}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{6}{{17}}.\)

Так как \(MN = 3x + x + 3x = 7x,\) то \(MN = 7 \cdot \dfrac{6}{{17}} = \dfrac{{42}}{{17}}.\)

Ответ: \(\dfrac{{42}}{{17}}.\)