2В. В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, M, P, E — середины сторон AB, BC, CD, и DA соответственно.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника KMPE равна половине площади четырёхугольника ABCD.

б) Найдите большую диагональ четырёхугольника KMPE, если известно, что AC = 6,  BD = 8,  а сумма площадей треугольников AKE и CMP равна \(3\sqrt 3 .\) 

Ответ

ОТВЕТ:  \(\sqrt {37} .\)

Решение

а) Так как точки K, M, P, E являются серединами сторон AB, BC, CD и DA соответственно, то отрезки KM, MP, PE и EK являются средними линиями треугольников ABC, BCD, CDA и DAB. Поэтому: \(KM = PE = \frac{{AC}}{2},\,\,\,KE = MP = \frac{{BD}}{2},\) \(KM\parallel AC\parallel PE,\)  \(MP\parallel BD\parallel KE.\) Следовательно, четырёхугольник KMPE является параллелограммом и \(\angle KMP = \angle AOD = \alpha .\)

\({S_{ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \alpha .\)

\({S_{KMPE}} = KM \cdot MP \cdot \sin \alpha  = \frac{{AC}}{2} \cdot \frac{{BD}}{2} \cdot \sin \alpha  = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}.\)

Что и требовалось доказать.

б) Треугольники AKE и ABD подобны по двум сторонам \(AB:AK = AD:AE\) и общему углу А, причём коэффициент подобия равен 2. Известно, что площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия в квадрате, значит, \(\frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{AKE}}}} = {2^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{S_{ABD}} = 4{S_{AKE}}.\)

Аналогично для подобных треугольников BDC и CMP: \({S_{BDC}} = 4{S_{CMP}}.\)

\({S_{ABCD}} = 4 \cdot ({S_{AKE}} + {S_{CMP}}) = 4 \cdot 3\sqrt 3  = 12\sqrt 3 \) (из условия суммы площадей треугольников AKE и CMP).

Из пункта а) следует:  \({S_{KMPE}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\),  тогда  \({S_{KMPE}} = \frac{{12\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 .\)

В параллелограмме KMPE: \(KM = \frac{{AC}}{2} = \frac{6}{2} = 3\), \(MP = \frac{{BD}}{2} = \frac{8}{2} = 4.\) Тогда:

\({S_{KMPE}} = KM \cdot MP \cdot \sin \alpha \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sin \alpha  = \frac{{{S_{KMPE}}}}{{KM \cdot MP}} = \frac{{6\sqrt 3 }}{{3 \cdot 4}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Значит, углы параллелограмма равны \({60^ \circ }\) и \({120^ \circ }\). В таком случае его большая диагональ напротив угла \({120^ \circ }\), которую найдем по теореме косинусов:

\(KP = \sqrt {K{M^2} + M{P^2}-2 \cdot KM \cdot MP \cdot \cos {{120}^ \circ }}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}-2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left( {-\frac{1}{2}} \right)}  = \sqrt {37} .\)

Ответ: \(\sqrt {37} .\)