20В. Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC.\) Диагональ \(BD\) разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями \(AD\) и \(CD.\)
а) Докажите, что луч \(AC\) — биссектриса угла \(BAD.\)
б) Найдите \(CD,\) если известны диагонали трапеции: \(AC = 15\) и \(BD = 8,5.\)
б) Пусть \(\angle BCA = \alpha \), тогда \(\angle ADB = \angle BAD = 2\alpha ,\) а \(\angle CBD = \angle ADB = 2\alpha \) как накрест лежащие. Тогда из равнобедренного треугольника DBC: \(\angle BDC = \angle BCD = \frac{{{{180}^ \circ }-2\alpha }}{2} = {90^ \circ }-\alpha .\) Найдём \(\cos \alpha \) по теореме косинусов в треугольнике ABC: \(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}-2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos \alpha .\) \(\cos \alpha = \frac{{B{C^2} + A{C^2}-A{B^2}}}{{2 \cdot BC \cdot AC}} = \frac{{{{8,5}^2} + {{15}^2}-{{8,5}^2}}}{{2 \cdot 8,5 \cdot 15}} = \frac{{15}}{{17}}.\) Используя основное тригонометрическое тождество, найдём \(\sin \alpha \): \(\sin \alpha = \sqrt {1-{{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1-{{\left( {\frac{{15}}{{17}}} \right)}^2}} = \frac{8}{{17}}.\) Для нахождения искомой стороны CD воспользуемся теоремой синусов в треугольнике BCD: \(\frac{{CD}}{{\sin 2\alpha }} = \frac{{BC}}{{\sin \left( {{{90}^ \circ }-\alpha } \right)}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,CD = \frac{{BC \cdot \sin 2\alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{8,5 \cdot 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha }}{{\cos \alpha }} = 17\sin \alpha = 17 \cdot \frac{8}{{17}} = 8.\) Ответ: \(8.\)
а) Так как треугольники ABD и BCD – равнобедренные, то \(AB = BD = BC.\) Рассмотрим треугольник ABC: \(AB = BC,\) значит, он – равнобедренный, тогда: \(\angle BAC = \angle BCA.\) Так как \(BC\parallel AD,\) то \(\angle BCA = \angle CAD\) как накрест лежащие. Следовательно, \(\angle BAC = \angle CAD\) и AC – биссектриса \(\angle BAD.\) Что и требовалось доказать.