21В (ЕГЭ 2017). Известно, что \(ABCD\) трапеция, \(AD = 2BC,\) \(AD,\) \(BC\) — основания. Точка \(M\) такова, что углы \(ABM\) и \(MCD\) прямые.
а) Доказать, что \(MA = MD.\)
б) Расстояние от \(M\) до \(AD\) равно \(BC,\) а угол \(ADC\) равен \({55^ \circ }.\) Найдите угол \(BAD.\)
б) Так как треугольник AMD – равнобедренный, то высота MH является медианой, которая равна половине стороны, к которой проведена. Следовательно, треугольник AMD – прямоугольный и \(\angle AMD = {90^ \circ }.\) Так как M – центр описанной окружности треугольника AKD, то угол AMD является центральным, а угол AKD вписанным. Поэтому \(\angle AKD = \frac{1}{2} \cdot \angle AMD = \frac{1}{2} \cdot {90^ \circ } = {45^ \circ }.\) Из суммы углов треугольника AKD найдём искомый \(\angle BAD,\) который равен \(\angle KAD\): \(\angle KAD = {180^ \circ }-\angle ADC-\angle AKD = {180^ \circ }-{55^ \circ }-{45^ \circ } = {80^ \circ }.\) Ответ: \({80^ \circ }.\)
а) Пусть прямые AB и DC пересекаются в точке K. Треугольники BKC и AKD – подобны (по двум углам: \(\angle AKD\) — общий, \(\angle KAD = \angle KBC\) как односторонние), причём коэффициент подобия \(k = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{2BC}} = \frac{1}{2}.\) Тогда, B и C – середины сторон AK и DK соответственно, значит: MB и MC – серединные перпендикуляры, поэтому точка M – центр описанной окружности треугольника AKD, следовательно, \(MA = MD = R.\) Что и требовалось доказать.