22В (ЕГЭ 2017). Дана равнобедренная трапеция, в которой \(AD = 3BC,\) \(CM\) — высота трапеции.
а) Доказать, что \(M\) делит \(AD\) в отношении \(2:1.\)
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до середины \(BD,\) если \(AD = 18,\) \(AC = 4\sqrt {13} .\)
б) Пусть CM и BD пересекаются в точке K. Треугольники BCK и KMD равны (по стороне и двум прилежащим углам: \(BC = MD,\,\,\,\angle BCK = \angle KMD,\,\,\,\angle CBK = \angle MDK\) как накрест лежащие углы). Следовательно, \(CK = KM = \frac{1}{2}CM\) и искомым расстоянием является отрезок CK. Так как \(AD = 18,\) то \(AM = 12.\) По теореме Пифагора из треугольника ACM: \(CM = \sqrt {A{C^2}-A{M^2}} \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,CM = \sqrt {A{C^2}-A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {4\sqrt {13} } \right)}^2}-{{12}^2}} = 8.\) Тогда: \(CK = \frac{{CM}}{2} = \frac{8}{2} = 4.\) Ответ: \(4.\)
а) Пусть \(BC = x,\) тогда \(AD = 3x.\) Так как трапеция равнобедренная, то \(MD = \frac{{AD-BC}}{2} = \frac{{3x-x}}{2} = x.\) Тогда: \(AM = AD-MD = 3x-x = 2x.\) Следовательно, \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{2x}}{x} = \frac{2}{1}.\) Что и требовалось доказать.