23В (ЕГЭ 2017). Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.
\(A{C^2} + C{M^2} = {8^2} + {15^2} = {17^2} = A{M^2}.\) Следовательно, треугольник ACM – прямоугольный с прямым углом ACM. Так как \(BD\parallel CM,\) то \(\angle AOD = ACM = {90^ \circ }.\) Что и требовалось доказать. б) Можем заметить, что трапеция ABCD и треугольник ACM – равновеликие: \({S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot CH = \frac{{AM}}{2} \cdot CH,\,\,\,{S_{ACM}} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot CH\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{S_{ABCD}} = {S_{ACM}}.\) Тогда: \({S_{ACM}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60.\) Ответ: \(60.\)
а) Проведём через точку C прямую, параллельную BD, до пересечения с прямой AD. Пусть они пересекаются в точке M. Тогда четырёхугольник BCMD является параллелограммом, то есть \(BC = DM.\) Следовательно, \(AM = AD + DM = AD + BC = 17.\) Пусть \(AC = 8,\,\,\,BD = 15 = CM.\) В треугольнике ACM по обратной теореме Пифагора: