24В (ЕГЭ 2018). В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) углы \(ABD\) и \(ACD\) прямые.
а) Докажите, что \(AB = CD.\)
б) Найдите \(AD,\) если \(AB = 2,\) \(BC = 7.\)
б) Пусть \(AD = x,\) тогда \(HD = \frac{{AD-KH}}{2} = \frac{{x-7}}{2}.\) Из прямоугольного треугольника ACD: \(C{D^2} = HD \cdot AD\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{2^2} = \frac{{x-7}}{2} \cdot x\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2}-7x-8 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 8 = AD.\) Ответ: \(8.\)
а) Треугольники ABD и ACD – прямоугольные с общей гипотенузой AD. Значит, вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Значит, четырёхугольник ABCD является вписанным. Получили, что ABCD — трапеция, вписанная в окружность. Значит, она равнобедренная, то есть \(AB = CD.\) Что и требовалось доказать.