25В. В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность, CH — высота трапеции.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке BH.
б) Найдите диагональ AC, если средняя линия трапеции равна \(2\sqrt 7 \), а ∠AOD = 120°, где O — центр окружности, вписанной в трапецию, а AD — большее основание.
Решение
а) Пусть \(BE = a,\,\,\,AK = b.\) Так как трапеция равнобедренная, то \(BE = EC = FH.\) Отрезки \(BE = BK = a,\,\,\,AK = AF = b\) как касательные. Следовательно, \(AB = AH\) и треугольник ABH является равнобедренным, то есть \(\angle ABH = \angle AHB.\) Так как\(AD\parallel BC,\) то \(\angle AHB = \angle HBC\) как накрест лежащие. Следовательно, \(\angle ABH = \angle HBC\) и BH является биссектрисой угла ABC. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, следовательно, центр O окружности, вписанной в трапецию ABCD, лежит на BH. Что и требовалось доказать.
б) В равнобедренном треугольнике AOD: \(\angle OAD = \angle ODA = \dfrac{{{{180}^ \circ }-{{120}^ \circ }}}{2} = {30^ \circ }.\) Так как DO – биссектриса угла CDA, то \(\angle CDA = {60^ \circ }.\) Отрезок AH в равнобедренной трапеции равен средней линии, значит, \(AH = AB = CD = 2\sqrt 7 .\) По определению синуса из треугольника CHD:
\(\sin {60^ \circ } = \dfrac{{CH}}{{CD}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{CH}}{{2\sqrt 7 }}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,CH = \sqrt {21} .\)
По теореме Пифагора из треугольника ACH: \(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AC = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 7 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {21} } \right)}^2}} = 7.\)
Ответ: \(7.\)