26В. В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O, CH — высота трапеции.
а) Докажите, что треугольник ABH равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ACH, если боковая сторона трапеции равна 2, ∠BOC = 60°, а BC — меньшее основание.
б) Отрезки AO и BO являются биссектрисами углов A и B трапеции, поэтому \(\angle AOB = {90^ \circ }.\) Так как \(\angle BOC = {60^ \circ },\) то \(\angle BOE = {30^ \circ }\) и \(\angle AOF = {60^ \circ }.\) В треугольнике AOF: \(tg\angle AOF = \frac{{AF}}{{OF}} = \sqrt 3 \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{b}{r} = \sqrt 3 \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,r = \frac{b}{{\sqrt 3 }}.\) В треугольнике BOE: \(tg\angle BOE = \frac{{BE}}{{EO}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{a}{r} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\) Подставим r в последнее выражение: \(\frac{{a\sqrt 3 }}{b} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,b = 3a.\) Так как \(AB = AH = a + b = 2,\) то \(3a + a = 2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a = \frac{1}{2},\,\,\,b = 2-\frac{1}{2} = \frac{3}{2}.\) Тогда: \(r = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) В треугольнике ACH: \(CH = 2r = 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 ,\,\,\,{S_{ACH}} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt 3 = \sqrt 3 .\) Ответ: \(\sqrt 3 .\)
а) Пусть K – точка касания окружности со стороной трапеции AB. Значит, \(BE = EC = FH = BK = a,\) \(AK = AF = b\) (как касательные). Тогда: \(AB = AK + BK = b + a,\) \(AH = AF + FH = b + a\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AB = AH.\) Следовательно, треугольник ABH – равнобедренный. Что и требовалось доказать.