а) Пусть K – точка касания окружности со стороной трапеции AB. Значит, \(BE = EC = FH = BK = a,\) \(AK = AF = b\) (как касательные). Тогда: \(AB = AK + BK = b + a,\) \(AH = AF + FH = b + a\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AB = AH.\) Следовательно, треугольник ABH – равнобедренный. Что и требовалось доказать.
б) Отрезки AO и BO являются биссектрисами углов A и B трапеции, поэтому \(\angle AOB = {90^ \circ }.\) Так как \(\angle BOC = {60^ \circ },\) то \(\angle BOE = {30^ \circ }\) и \(\angle AOF = {60^ \circ }.\) В треугольнике AOF:
\(tg\angle AOF = \dfrac{{AF}}{{OF}} = \sqrt 3 \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{b}{r} = \sqrt 3 \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,r = \dfrac{b}{{\sqrt 3 }}.\)
В треугольнике BOE:
\(tg\angle BOE = \dfrac{{BE}}{{EO}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{a}{r} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
Подставим r в последнее выражение: \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{b} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,b = 3a.\) Так как \(AB = AH = a + b = 2,\) то \(3a + a = 2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a = \dfrac{1}{2},\,\,\,b = 2-\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.\) Тогда: \(r = \dfrac{3}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\) В треугольнике ACH:
\(CH = 2r = 2 \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 ,\,\,\,{S_{ACH}} = \dfrac{1}{2} \cdot AH \cdot CH = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt 3 = \sqrt 3 .\)
Ответ: \(\sqrt 3 .\)