Профиль №17. Многоугольники. Задача 27В

27В. Точки L и N — середины оснований BC и AD трапеции ABCD соответственно, а точки K и M — середины диагоналей AC и BD соответственно. Известно, что KM = LN.

а) Докажите, что сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°.

б) Найдите высоту трапеции, если площадь четырёхугольника KLMN равна 12, а разность оснований трапеции равна 10.

Ответ

ОТВЕТ: \(4,8.\)

Решение

а) В треугольниках ABC и ABD KL и MN – средние линии соответственно, то есть \(KL\parallel MN,\,\,\,KL = MN.\) Значит, KLMN – параллелограмм, а так как его диагонали равны, то он является прямоугольником. Поскольку \(AB\parallel KL\) и \(KL \bot LM,\) а отрезок LM является средней линией в треугольнике BCD, то \(LM\parallel CD\) и \(AB \bot CD.\) Следовательно, \(\angle BAD + \angle CDA = {90^ \circ }.\) Что и требовалось доказать.

б) Отрезок KM, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований, то есть \(KM = \dfrac{{10}}{2} = 5.\) Площадь треугольника KLM равна половине площади прямоугольника KLMN. Тогда: \({S_{KLM}} = \dfrac{1}{2} \cdot KM \cdot h\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,h = \dfrac{{2{S_{KLM}}}}{{KM}} = \dfrac{{2 \cdot 6}}{5} = 2,4.\) Следовательно, высота трапеции равна \(2 \cdot 2,4 = 4,8.\)

Ответ: \(4,8.\)