Профиль №17. Многоугольники. Задача 28В

28В. Окружность, проходящая через вершины A, B и C трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вторично пересекает прямую AD в точке M.

а) Докажите, что AC = BM.

б) Найдите AC, если AD = 16, \(CD = 8\sqrt 3 \) и ∠AMB = 60°.

Ответ

ОТВЕТ: \(8.\)

Решение

а) Трапеция ABCM вписана в окружность, поэтому она равнобедренная. Диагонали равнобедренной трапеции равны, следовательно, \(AC = BM.\) Что и требовалось доказать.

б) Найдём отрезок AC по теореме косинусов в треугольнике ACD, причём \(\angle BMA = \angle CAM = {60^ \circ }.\) Тогда:

\(C{D^2} = A{C^2} + A{D^2}-2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos \angle CAM\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\left( {8\sqrt 3 } \right)^2} = A{C^2} + {16^2}-2 \cdot AC \cdot 16 \cdot \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{C^2}-16AC + 64 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AC = 8.\)

Ответ: \(8.\)