а) Так как в трапецию можно вписать окружность, то суммы её противоположных сторон равны, а так как вокруг неё можно описать окружность, то она является равнобедренной. Пусть \(AD > BC\) – её основания, CH – высота, \(BC = a,\,\,\,AD = b,\,\,\,AB = CD = x.\) Отрезок AH – проекция диагонали AC на большее основание. Тогда: \(BC + AD = AB + CD\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a + b = 2x\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{{a + b}}{2}.\) Отрезок \(HD = \dfrac{{b-a}}{2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AH = AD-HD = b-\dfrac{{b-a}}{2} = \dfrac{{a + b}}{2}.\) Значит: \(AH = x.\) Что и требовалось доказать.
б) По условию \(a = 3,\,\,\,b = 27,\) тогда: \(AB = CD = AH = x = \dfrac{{3 + 27}}{2} = 15,\,\,\,HD = \dfrac{{27-3}}{2} = 12.\) В треугольнике CHD по теореме Пифагора: \(CH = \sqrt {C{D^2}-H{D^2}} = \sqrt {{{15}^2}-{{12}^2}} = 9,\) тогда: \(r = \dfrac{{CH}}{2} = \dfrac{9}{2} = 4,5.\) В треугольнике ACH по теореме Пифагора: \(AC = \sqrt {C{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{9^2} + {{15}^2}} = 3\sqrt {34} .\) Из треугольника CHD: \(\sin \alpha = \dfrac{{CH}}{{CD}} = \dfrac{9}{{15}} = \dfrac{3}{5}.\) Найдём радиус описанной окружности по теореме синусов:
\(\dfrac{{AC}}{{\sin \alpha }} = 2R\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,R = \dfrac{{AC}}{{2\sin \alpha }} = \dfrac{{3\sqrt {34} }}{{2 \cdot \dfrac{3}{5}}} = \dfrac{{5\sqrt {34} }}{2}.\)
В треугольнике ACD найдём \(\angle ACD\) по теореме косинусов:
\(A{D^2} = A{C^2} + C{D^2}-2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos \angle ACD\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos \angle ACD = \dfrac{{A{C^2} + C{D^2}-A{D^2}}}{{2 \cdot AC \cdot CD}}.\)
Тогда: \(\cos \angle ACD = \dfrac{{{{\left( {3\sqrt {34} } \right)}^2} + {{15}^2}-{{27}^2}}}{{2 \cdot 3\sqrt {34} \cdot 15}} = -\dfrac{{11\sqrt {34} }}{{170}}.\) Так как \(\cos \angle ACD < 0,\) то \(\angle ACD\) – тупой, треугольник ACD – тупоугольный. Следовательно, центр описанной окружности находится вне трапеции. Найдём расстояние от центра описанной окружности \({O_2}\) до прямой AD по теореме Пифагора из треугольника \(AM{O_2}\): \(M{O_2} = y = \sqrt {A{O_2}^2-A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{5\sqrt {34} }}{2}} \right)}^2}-{{\left( {\dfrac{{27}}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{11}}{2} = 5,5.\) Следовательно, расстояние между центрами окружностей \({O_1}\) и \({O_2}\): \({O_1}{O_2} = r + y = 4,5 + 5,5 = 10.\)
Ответ: \(10.\)