3В. В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны АD. Отрезок ВЕ пересекает диагональ АС в точке Р, АB = PD.
а) Докажите, что отрезок ВЕ перпендикулярен диагонали АС.
б) Найдите площадь параллелограмма, если АВ = 2, ВС = 3.
б) Диагональ параллелограмма делит его на два треугольника, площади которых равны, то есть \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}}.\) Пусть \(AP = a,\,\,\,PO = \frac{a}{2}\), так как P – точка пересечения медиан, тогда \(AO = OC = \frac{{3a}}{2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,PC = 2a.\) Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ABP и PBC: \(\left\{ \begin{array}{l}B{P^2} = 4-{a^2}\\B{P^2} = 9-4{a^2}\end{array} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,4-{a^2} = 9-4{a^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a = \sqrt {\frac{5}{3}} .\) Значит: \(AC = 3\sqrt {\frac{5}{3}} ,\,\,\,BP = \sqrt {4-\frac{5}{3}} = \sqrt {\frac{7}{3}} .\) Тогда: \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BP = 3\sqrt {\frac{5}{3}} \cdot \sqrt {\frac{7}{3}} = \sqrt {35} .\) Ответ: \(\sqrt {35} .\)
а) Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда в треугольнике ABD отрезки AO и BE — медианы. Продлим отрезок DP до пересечения с AB в точке M. Это будет третья медиана. Тогда \(PM = \frac{1}{2} \cdot PD = \frac{1}{2} \cdot AB.\) Так как PM – медиана в треугольнике ABP и равна половине стороны AB, то треугольник APB – прямоугольный и \(\angle APB = {90^ \circ }\). Следовательно, отрезок BE перпендикулярен диагонали AC. Что и требовалось доказать.