а) Так как вокруг трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной. Пусть \(AD > BC\) – её основания, CH – высота, \(BC = a,\,\,\,AD = b.\) Тогда AH – проекция диагонали AC на большее основание. Тогда: \(HD = \dfrac{{b-a}}{2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AH = AD-HD = b-\dfrac{{b-a}}{2} = \dfrac{{a + b}}{2}.\) Что и требовалось доказать.
б) Пусть \(AB = CD = x.\) По условию \(AD = 8.\) Так как в трапецию можно вписать окружность, то суммы её противоположных сторон равны. Тогда:
\(BC + AD = AB + CD\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a + 8 = 2x\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{{a + 8}}{2} = AH,\,\,\,HD = AD-AH = 8-x.\)
Найдём высоту CH в треугольнике ACH по теореме Пифагора: \(CH = \sqrt {A{C^2}-A{H^2}} .\) Аналогично найдём высоту CH в треугольнике CHD: \(CH = \sqrt {C{D^2}-H{D^2}} .\) Левые части выражений равны, приравняем правые:
\(\sqrt {A{C^2}-A{H^2}} = \sqrt {C{D^2}-H{D^2}} \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sqrt {{{\left( {\sqrt {41} } \right)}^2}-{x^2}} = \sqrt {{x^2}-{{\left( {8-x} \right)}^2}} .\)
Тогда: \({x^2} + 16x-105 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 5.\) Значит:
\(CH = \sqrt {C{D^2}-H{D^2}} = \sqrt {{5^2}-{3^2}} = 4,\,\,\,K{O_1} = r = \dfrac{{CH}}{2} = \dfrac{4}{2} = 2.\)
В треугольнике ACD найдём \(\angle ACD\), который лежит напротив большей стороны AD, по теореме косинусов:
\(A{D^2} = A{C^2} + C{D^2}-2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos \angle ACD\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos \angle ACD = \dfrac{{A{C^2} + C{D^2}-A{D^2}}}{{2 \cdot AC \cdot CD}}.\)
Таким образом: \(\cos \angle ACD = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {41} } \right)}^2} + {5^2}-{8^2}}}{{2 \cdot \sqrt {41} \cdot 5}} = \dfrac{{\sqrt {41} }}{{205}} > 0.\) Следовательно, \(\angle ACD\) – острый, треугольник ACD – остроугольный. Значит, центр описанной окружности лежит внутри трапеции. По определению синуса из треугольника CHD: \(\sin \alpha = \dfrac{{CH}}{{CD}} = \dfrac{4}{5}.\) Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся теоремой синусов:
\(\dfrac{{AC}}{{\sin \alpha }} = 2R\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,R = \dfrac{{AC}}{{2\sin \alpha }} = \dfrac{{5\sqrt {41} }}{{2 \cdot 4}} = \dfrac{{5\sqrt {41} }}{8}.\)
Расстояние от центра описанной окружности \({O_2}\) до основания AD найдём по теореме Пифагора из треугольника \(KD{O_2}\): \(K{O_2} = \sqrt {D{O_2}^2-K{D^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{5\sqrt {41} }}{8}} \right)}^2}-{4^2}} = \dfrac{1}{8}.\) Тогда, искомое расстояние между центрами окружностей \({O_1}\) и \({O_2}\): \({O_1}{O_2} = K{O_1}-K{O_2} = 2-\dfrac{1}{8} = \dfrac{{15}}{8}.\)
Ответ: \(\dfrac{{15}}{8}.\)