31В. В трапеции ABCD \(\left( {AD\parallel BC} \right)\) угол ADB в два раза меньше угла ACB и BC = AC.
а) Докажите, что точки A, B и D лежат на окружности с центром C.
б) Найдите площадь трапеции, если BC = 5 и AD = 6.
б) В трапеции ABCD: \(AC = BC = DC\) (радиусы окружности). Тогда в равнобедренном треугольнике ACD высота CH является медианой и \(AH = DH = 3.\) По теореме Пифагора из треугольника CDH: \(CH = \sqrt {C{D^2}-H{D^2}} = \sqrt {{5^2}-{3^2}} = 4.\) Следовательно, \({S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot CH = \frac{{6 + 5}}{2} \cdot 4 = 22.\) Ответ: \(22.\)
а) Через точки A и B можно провести окружность с центром в точке C, а так как \(\angle BDA = \frac{1}{2}\angle BCA\) (половина центрального угла – вписанный угол), то данная окружность пройдёт через точку D. Что и требовалось доказать.