Профиль №17. Многоугольники. Задача 32Вmath100admin44242025-04-01T12:06:32+03:00
32В. Окружность с центром O1 вписана в прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A. Окружность с центром O2 касается большей боковой стороны CD и продолжений оснований трапеции.
а) Докажите, что O1CO2D — прямоугольник.
б) Найдите площадь этого прямоугольника, если точка касания M вписанной в трапецию окружности делит меньшее основание на отрезки BM = 6 и CM = 4.
Решение
а) Пусть окружность с центром \({O_2}\) касается продолжения основания BC в точке N. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому:
\(\angle DC{O_2} = \dfrac{1}{2}\angle DCN = \dfrac{1}{2}\angle ADC = \angle CD{O_1}.\)
Значит, \(C{O_2}\parallel D{O_1}.\) Аналогично \(D{O_2} \parallel C{O_1},\) следовательно, \({O_1}C{O_2}D\) — параллелограмм, а так как \(\angle C{O_1}D = {90^ \circ }\) (как угол между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей), то это прямоугольник. Что и требовалось доказать.
б) В прямоугольном треугольнике \(D{O_1}C\): \({O_1}P = \sqrt {CP \cdot PD} \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,PD = \dfrac{{{O_1}{P^2}}}{{CP}} = \dfrac{{{6^2}}}{4} = 9.\) В трапеции ABCD: \(CM = CP = 4\) (как касательные), тогда: \(CD = CP + PD = 4 + 9 = 13.\) Диагональ прямоугольника \({O_1}C{O_2}D\) делит его на два равных прямоугольных треугольника, значит:
\({S_{{O_1}C{O_2}D}} = 2{S_{{O_1}CD}} = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {O_1}P \cdot CD = 6 \cdot 13 = 78.\)
Ответ: \(78.\)