а) Так как основания и боковые стороны трапеции ABCD параллельны основаниям и боковым сторонам трапеции KLMN, то \(\angle ADC = \angle LKN = \alpha .\) Тогда запишем теоремы синусов для угла \(\alpha \): \(\dfrac{{AC}}{{\sin \alpha }} = 2R,\,\,\,\dfrac{{LN}}{{\sin \alpha }} = 2R\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AC = LN.\) Что и требовалось доказать.
б) Пусть BH и LP – высоты трапеций и \(KL = R,\,\,\,AB = \dfrac{R}{2}.\) Тогда HD и PN равны средним линиям трапеций ABCD и KLMN соответственно. В треугольнике KPL: \(PL = R \cdot \sin \alpha .\) В треугольнике ABH аналогично: \(BH = \dfrac{{R \cdot \sin \alpha }}{2}.\) Из треугольника ACD по теореме синусов: \(\dfrac{{AC}}{{\sin \alpha }} = 2R\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AC = 2R\sin \alpha .\) Найдём HD в прямоугольном треугольнике BDH, причём диагонали трапеции AC и BD равны (так как ABCD – равнобедренная трапеция, потому что вокруг неё можно описать окружность):
\(HD = \sqrt {B{D^2}-B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2R\sin \alpha } \right)}^2}-{{\left( {\dfrac{{R\sin \alpha }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{R\sqrt {15} \cdot \sin \alpha }}{2}.\)
Из треугольника KLN по теореме синусов: \(\dfrac{{LN}}{{\sin \alpha }} = 2R\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,LN = 2R\sin \alpha .\)
По определению синуса из прямоугольного треугольника KPL: \(\sin \alpha = \dfrac{{LP}}{{KL}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,LP = R\sin \alpha .\)
По теореме Пифагора найдём PN в прямоугольном треугольнике LPN:
\(PN = \sqrt {L{N^2}-P{L^2}} = \sqrt {{{\left( {2R\sin \alpha } \right)}^2}-{{\left( {R\sin \alpha } \right)}^2}} = R\sqrt 3 \cdot \sin \alpha .\)
Тогда, отношение площадей:
\(\dfrac{{{S_{KLMN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{PL \cdot PN}}{{BH \cdot HD}} = \dfrac{{2 \cdot 2 \cdot R\sin \alpha \cdot R\sqrt 3 \cdot \sin \alpha }}{{R\sin \alpha \cdot R\sqrt {15} \sin \alpha }} = \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}.\)
Ответ: \(4:\sqrt 5 .\)