34В. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N лежат на сторонах AB и CD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Известно, что площади треугольников AMO и CNO равны.
а) Докажите, что \(CM\parallel AN\).
б) Найдите MN, если AD = 4 и BC = 9.
Решение
а) Так как \({S_{AMO}} = {S_{CNO}}\), то \({S_{AMN}} = {S_{ACN}}.\) Треугольники AMN и ACN имеют общую сторону AN, а значит точки M и C равноудалены от прямой AN. А поскольку они, очевидно, лежат по одну сторону от прямой AN, прямые MC и AN – параллельные. Что и требовалось доказать.
б) Треугольники AND и MCN подобны (по двум углам: \(\angle CMN = \angle NAD,\,\,\,\angle MNC = \angle ADN\) как односторонние, так как \(MN\parallel AD\parallel BC\)). Следовательно: \(\dfrac{{AD}}{{AN}} = \dfrac{{MN}}{{MC}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AN = \dfrac{{AD \cdot MC}}{{MN}}.\) Треугольники MNA и BCM также подобны (по двум углам: \(\angle ANM = \angle MCB,\,\,\,\angle AMN = \angle MBC\) как односторонние). Следовательно, \(\dfrac{{MN}}{{AN}} = \dfrac{{BC}}{{MC}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{M{N^2}}}{{AD \cdot MC}} = \dfrac{{BC}}{{MC}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,MN = \sqrt {AD \cdot BC} = \sqrt {4 \cdot 9} = 6.\)
Ответ: \(6.\)