35В. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O.
а) Докажите, что прямая, проходящая через вершину B и середину отрезка OC, делит сторону CD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Пусть ABCD — ромб с диагоналями BD = 18, AC = 48. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри ромба.
б) Так как \(AC = 4y = 48\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y = 12,\) то в треугольнике BOM: \(BM = \sqrt {O{M^2} + B{O^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {9^2}} = 15.\) Треугольники ABM и MCK подобны (см. пункт а) с коэффициентом подобия, равным 3. Поэтому \(MK = \frac{{BM}}{3} = \frac{{15}}{3} = 5.\) Следовательно, \(BK = BM + MK = 15 + 5 = 20.\) Ответ: \(20.\)
а) Пусть точка M – середина отрезка OC и \(BM \cap DC = K.\) Треугольники ABM и CKM подобны по двум углам (\(\angle AMB = \angle CMK\) как вертикальные, \(\angle BAM = \angle KCM\) как накрест лежащие). Пусть \(CM = y,\) тогда \(AM = 3y.\) Поэтому \(\frac{{CK}}{{AB}} = \frac{{CM}}{{AM}} = \frac{1}{3}.\) Пусть \(CK = z,\) тогда \(AB = CD = 3z.\) Значит: \(DK = CD-CK = 3z-z = 2z.\) Что и требовалось доказать.