а) Пусть \(\angle BAD = \angle BCD = \angle CDN = \angle CND = \alpha .\) Тогда \(\angle DCN = {180^ \circ }-\angle CDN-\angle CND = {180^ \circ }-\alpha -\alpha = {180^ \circ }-2\alpha .\) \(\angle CDN = \angle ADM = \alpha \) как вертикальные. В треугольнике AMD: \(AD = AM,\) значит: \(\angle ADM = \angle AMD = \alpha ,\,\,\,\angle MAD = {180^ \circ }-2\alpha .\) В треугольнике BCN:
\(\angle BCN = \angle DCN + \angle BCD = {180^ \circ }-2\alpha + \alpha = {180^ \circ }-\alpha ,\)
а в треугольнике BAM:
\(\angle BAM = \angle MAD + \angle BAD = {180^ \circ }-2\alpha + \alpha = {180^ \circ }-\alpha .\)
Следовательно, треугольники BCN и BAM равны по двум сторонам и углу между ними: (\(AM = BC,\,\,\,AB = CN,\,\,\,\angle BAM = \angle BCN\)), тогда: \(BM = BN.\) Что и требовалось доказать.
б) Используя основное тригонометрическое тождество, зная \(\sin \angle BAD = \sin \alpha = \dfrac{8}{{17}},\) найдём \(\cos \alpha = \sqrt {1-{{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1-{{\left( {\dfrac{8}{{17}}} \right)}^2}} = \dfrac{{15}}{{17}}.\) Так как \(AM = BC\), \(AB\parallel CM\) и \(AB = CN,\,\,\,AN\parallel BC,\) то трапеции ABCM и ABCN являются равнобедренными, значит, вокруг них можно описать одну и ту же окружность. Рассмотрим треугольник AMN и запишем теорему синусов: \(\dfrac{{MN}}{{\sin \left( {{{180}^ \circ }-2\alpha } \right)}} = 2R\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,MN = 2R \cdot \sin 2\alpha .\) Рассмотрим треугольник ACM и также запишем теорему синусов: \(\dfrac{{AC}}{{\sin \alpha }} = 2R\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2R = \dfrac{{AC}}{{\sin \alpha }}.\) Тогда:
\(MN = 2R \cdot \sin 2\alpha = \dfrac{{AC \cdot 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 2 \cdot AC \cdot \cos \alpha = 2 \cdot 4 \cdot \dfrac{{15}}{{17}} = \dfrac{{120}}{{17}}.\)
Ответ: \(\dfrac{{120}}{{17}}.\)