37В (ЕГЭ 2021). В равнобедренной трапеции ABCD меньшее основание BC равно боковой стороне. На плоскости выбрали точку E такую, что прямая BE перпендикулярна прямой AD, а прямая CE перпендикулярна прямой BD.

а) Докажите, что \(\angle AEB = \angle ADB.\)

б) Найдите площадь трапеции ABCD, если AB = 32, \(\cos \angle AEB = \frac{3}{4}.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(432\sqrt 7 .\)

Решение

а) Пусть \(\angle ADB = \alpha ,\) тогда \(\angle CBD = \angle CDB = \angle ADB = \alpha \) как накрест лежащие и углы при основании в равнобедренном треугольнике BCD. Пусть \(CE \cap AD = N,\,\,\,CE \cap BD = O.\) Так как DO – биссектриса и высота в треугольнике NCD, то он равнобедренный, таким образом, NBCD – ромб, поэтому \(BC = CD = ND = BN,\,\,\,BN\parallel CD.\) В трапеции ABCD: \(\angle BAN = \angle BNA = \angle CDN = \alpha  + \alpha  = 2\alpha .\) Треугольник ABN – равнобедренный, \(BK \bot AN,\) следовательно, BK – медиана, поэтому \(AK = KN.\) Так как BE – продолжение высоты и медианы BK, то треугольник AEN – равнобедренный, \(\angle AEK = \angle NEK\). Из прямоугольного треугольника NOD: \(\angle OND = {90^ \circ }-\alpha .\) \(\angle ENK = \angle OND = {90^ \circ }-\alpha \) как вертикальные. Тогда, из прямоугольного треугольника EKN: \(\angle KEN = {90^ \circ }-\angle ENK = {90^ \circ }-\left( {{{90}^ \circ }-\alpha } \right) = \alpha  = \angle AEK = \angle AEB.\) Что и требовалось доказать.

б) В трапеции ABCD: \(AB = BC = CD = KF,\) тогда: \(AD = KF + 2AK = BC + 2AK.\) Так как \(\angle BAD = 2\alpha ,\,\,\,\cos \alpha  = \frac{3}{4},\) найдём \(\cos \angle BAD\):

\(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha -1 = 2 \cdot {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}-1 = \frac{1}{8}.\)

Рассмотрим треугольник ABK: \(\cos 2\alpha  = \frac{{AK}}{{AB}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AK = AB \cdot \cos 2\alpha  = 32 \cdot \frac{1}{8} = 4.\) Используя основное тригонометрическое тождество: \(\sin 2\alpha  = \sqrt {1-{{\cos }^2}2\alpha }  = \sqrt {1-{{\left( {\frac{1}{8}} \right)}^2}}  = \frac{{3\sqrt 7 }}{8}.\) По определению синуса из треугольника ABK:

\(\sin 2\alpha  = \frac{{BK}}{{AB}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,BK = AB \cdot \sin 2\alpha  = 32 \cdot \frac{{3\sqrt 7 }}{8} = 12\sqrt 7 .\)

Тогда площадь трапеции ABCD:

\({S_{ABCD}} = \frac{{BC + AD}}{2} \cdot BK = \frac{{32 + 32 + 2 \cdot 4}}{2} \cdot 12\sqrt 7  = 432\sqrt 7 .\)

Ответ: \(432\sqrt 7 .\)