38В (ЕГЭ 2022). Дана равнобедренная трапеция ABCD. На боковой стороне AB и большем основании AD взяты соответственно точки F и E так, что FE параллельно CD, а FC = ED.
а) Докажите, что \(\angle BCF = \,\angle AFE.\)
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если ED = 3 BF, FE = 5 и площадь трапеции FCDE равна \(14\sqrt {35} .\)
\(\angle FAE = \angle FEA = \angle ADC = \frac{{{{180}^ \circ }-2\alpha }}{2} = {90^ \circ }-\alpha .\) Из суммы углов, прилежащих к боковой стороне CD трапеции ABCD: \(\angle BCD = {180^ \circ }-\angle ADC = {180^ \circ }-\left( {{{90}^ \circ }-\alpha } \right) = {90^ \circ } + \alpha .\) Следовательно: \(\angle BCF = \angle BCD-\angle FCD = {90^ \circ } + \alpha -\left( {{{90}^ \circ }-\alpha } \right) = 2\alpha = \angle AFE.\) Что и требовалось доказать. б) Пусть \(BF = x,\,\,\,CF = ED = 3BF = 3x,\,\,\,\angle ADC = \beta ,\,\,\,EH\) и FK – высоты трапеции EFCD. Тогда \(CD = CK + KH + HD = 2HD + FE = 2 \cdot 3x \cdot \cos \beta + 5.\) Так как \(AF = FE = 5,\) то: \(AB = AF + BF = 5 + x = CD\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,5 + x = 6x\cos \beta + 5\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos \beta = \frac{1}{6}.\) Используя основное тригонометрическое тождество: \(\sin \beta = \sqrt {1-{{\cos }^2}\beta } = \sqrt {1-{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {35} }}{6}.\) Из прямоугольного треугольника EDH: \(EH = ED \cdot \sin \beta = 3x \cdot \frac{{\sqrt {35} }}{6} = \frac{{x\sqrt {35} }}{2}.\) Из площади трапеции FCDE: \({S_{FCDE}} = \frac{{FE + CD}}{2} \cdot EH = \frac{{5 + 5 + x}}{2} \cdot \frac{{x\sqrt {35} }}{2} = 14\sqrt {35} \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2} + 10x-56 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 4.\) Из треугольника FAE: \(AE = 2AF \cdot \cos \beta = 2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{3},\) тогда: \(AD = AE + ED = \frac{5}{3} + 3 \cdot 4 = \frac{{41}}{3}.\) Из треугольника CMD по определению косинуса \(\cos \beta = \frac{{MD}}{{CD}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,MD = 9 \cdot \frac{1}{6} = 1,5.\) Найдём BC:\(BC = AD-2MD = \frac{{41}}{3}-2 \cdot 1,5 = \frac{{32}}{3}.\) По определению синуса из треугольника CMD: \(CM = CD \cdot \sin \beta = 9 \cdot \frac{{\sqrt {35} }}{6} = \frac{{3\sqrt {35} }}{2}.\) Тогда: \({S_{ABCD}} = \frac{{BC + AD}}{2} \cdot CM = \frac{{\frac{{32}}{3} + \frac{{41}}{3}}}{2} \cdot \frac{{3\sqrt {35} }}{2} = \frac{{73\sqrt {35} }}{4}.\) Ответ: \(\frac{{73\sqrt {35} }}{4}.\)
а) Так как \(FE\parallel CD,\,\,\,FC = ED,\) то FCDE – равнобедренная трапеция и тогда \(\angle EDC = \angle FCD = \angle DAB = \angle FEA.\) Пусть \(\angle AFE = 2\alpha ,\) тогда: