а) Пусть \(\angle CAD = \alpha ,\) тогда \(\angle BAC = 2\alpha ,\) а так как AL – биссектриса, то \(\angle BAL = \angle CAL = \dfrac{{\angle BAC}}{2} = \dfrac{{2\alpha }}{2} = \alpha .\) Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, тогда:
\({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 2\alpha = AB \cdot AC \cdot \sin 2\alpha .\)
Треугольник ALD имеет общие основание и высоту с параллелограммом ABCD, значит:
\({S_{ABCD}} = 2{S_{ALD}} = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot AL \cdot AD \cdot \sin 2\alpha = AL \cdot AD \cdot \sin 2\alpha .\)
Следовательно, \(AB \cdot AC = AL \cdot AD = AL \cdot BC.\) Что и требовалось доказать.
б) Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O, которая делит их пополам. Тогда в равнобедренных треугольниках ALC и AEC отрезки LO и EO являются высотами. Следовательно, точки L, O, E лежат на одной прямой. В прямоугольном треугольнике ALO:
\(LO = AO \cdot tg\alpha = \dfrac{{AC}}{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{{12}}{8} = 1,5.\)
В прямоугольном треугольнике AOE:
\(EO = AO \cdot tg2\alpha = \dfrac{{AC}}{2} \cdot \dfrac{{2tg\alpha }}{{1-t{g^2}\alpha }} = \dfrac{{12}}{2} \cdot \dfrac{{2 \cdot \dfrac{1}{4}}}{{1-{{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)}^2}}} = 3,2.\)
Тогда: \(EL = LO + EO = 1,5 + 3,2 = 4,7.\)
Ответ: \(4,7.\)