39В (ЕГЭ 2022). В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.
а) Докажите, что \(AL \cdot BC = AB \cdot AC.\)
б) Найдите EL, если AC = 12, \({\rm{tg}}\angle BCA = \frac{1}{4}.\)
\({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 2\alpha = AB \cdot AC \cdot \sin 2\alpha .\) Треугольник ALD имеет общие основание и высоту с параллелограммом ABCD, значит: \({S_{ABCD}} = 2{S_{ALD}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AL \cdot AD \cdot \sin 2\alpha = AL \cdot AD \cdot \sin 2\alpha .\) Следовательно, \(AB \cdot AC = AL \cdot AD = AL \cdot BC.\) Что и требовалось доказать. б) Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O, которая делит их пополам. Тогда в равнобедренных треугольниках ALC и AEC отрезки LO и EO являются высотами. Следовательно, точки L, O, E лежат на одной прямой. В прямоугольном треугольнике ALO: \(LO = AO \cdot tg\alpha = \frac{{AC}}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{{12}}{8} = 1,5.\) В прямоугольном треугольнике AOE: \(EO = AO \cdot tg2\alpha = \frac{{AC}}{2} \cdot \frac{{2tg\alpha }}{{1-t{g^2}\alpha }} = \frac{{12}}{2} \cdot \frac{{2 \cdot \frac{1}{4}}}{{1-{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}} = 3,2.\) Тогда: \(EL = LO + EO = 1,5 + 3,2 = 4,7.\) Ответ: \(4,7.\)
а) Пусть \(\angle CAD = \alpha ,\) тогда \(\angle BAC = 2\alpha ,\) а так как AL – биссектриса, то \(\angle BAL = \angle CAL = \frac{{\angle BAC}}{2} = \frac{{2\alpha }}{2} = \alpha .\) Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, тогда: