4В. В трапеции ABCD \(\left( {AD\parallel BC} \right)\), ∠ABC = 90°. Прямая, перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону АВ в точке М, а сторону CD — в точке N.
а) Докажите подобие треугольников АВN и DCM.
б) Найдите расстояние от точки А до прямой ВN, если МС = 5, ВN = 3, а расстояние от точки D до прямой МС равно 6.
б) Проведём в треугольниках ABN и CDM высоты AH и DP. Тогда из подобия этих треугольников: \(\frac{{AH}}{{DP}} = \frac{{BN}}{{CM}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AH = \frac{{BN \cdot DP}}{{CM}} = \frac{{3 \cdot 6}}{5} = 3,6\) Ответ: \(3,6.\)
а) По условию \(\angle ABC = \angle MNC = {90^ \circ }\), значит, вокруг четырёхугольника MNCB можно описать окружность, следовательно, \(\angle MBN = \angle MCN\), так как они опираются на одну дугу. Аналогично можно описать окружность вокруг четырёхугольника AMND, так как \(\angle MAD = \angle DNM = {90^ \circ }.\) Следовательно, \(\angle BAN = \angle CDM\), так как они тоже опираются на одну дугу. Следовательно, треугольники ABN и CDM подобны (по двум углам). Что и требовалось доказать.