40В (ЕГЭ 2022). На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что АМ = МС.

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.

б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если АВ = 7, ВС = 21, а \(\angle DAB = \,{60^ \circ }.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 3 \left( {34-\sqrt {127} } \right)}}{{14}}.\)

Решение

а) Так как \(AM = MC,\) то треугольник AMC – равнобедренный, поэтому: \(\angle MAC = \angle MCA.\) В параллелограмме ABCD: \(\angle MCA = \angle CAD\) как накрест лежащие. Следовательно, \(\angle MAC = \angle CAD\) и AC – биссектриса угла MAD, на которой лежит центр вписанной в треугольник AMD окружности. Что и требовалось доказать.

б) Пусть \(AM = MC = x,\) тогда \(BM = BC-MC = 21-x.\) По теореме косинусов в треугольнике ABM:

\(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2}-2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos \left( {{{180}^ \circ }-{{60}^ \circ }} \right)\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2} = {7^2} + {\left( {21-x} \right)^2}-2 \cdot 7 \cdot \left( {21-x} \right) \cdot \left( {-\frac{1}{2}} \right)\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2} = 49 + 441-42x + {x^2} + 147-7x\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 13.\)

По теореме косинусов в треугольнике CMD:

 \(MD = \sqrt {M{C^2} + C{D^2}-2 \cdot MC \cdot CD \cdot \cos {{60}^ \circ }}  = \sqrt {{{13}^2} + {7^2}-2 \cdot 13 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2}}  = \sqrt {127} .\)

Треугольник AMD и параллелограмм ABCD имеют общие основание и высоту, проведённую к основанию, поэтому площадь треугольника равна половине площади параллелограмма:

\({S_{AMD}} = \frac{{AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD}}{2} = \frac{{7 \cdot 21 \cdot \sqrt 3 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{147\sqrt 3 }}{4}.\)

Также площадь треугольника AMD равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

\({S_{AMD}} = p \cdot r = \frac{{AM + MD + AD}}{2} \cdot r\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,r = \frac{{2{S_{AMD}}}}{{AM + MD + AD}} = \frac{{2 \cdot 147\sqrt 3 }}{{4\left( {13 + \sqrt {127}  + 21} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 \left( {34-\sqrt {127} } \right)}}{{14}}.\)

Ответ: \(\frac{{\sqrt 3 \left( {34-\sqrt {127} } \right)}}{{14}}.\)