а) Рассмотрим треугольники MBC и NCD: \(BC = CD\) как стороны квадрата, \(BM = NC\) как половины сторон квадрата (по условию), \(\angle MBC = \angle NCD = {90^ \circ },\) следовательно, \(\Delta MBC = \Delta NCD\) (по двум катетам), \(\angle BMC = \angle CND = \alpha ,\,\,\,\angle BCM = \angle CDN = \beta ,\) причём \(\alpha + \beta = {180^ \circ }-{90^ \circ } = {90^ \circ }.\) Рассмотрим треугольник KNC: \(\angle KNC = \alpha ,\,\,\,\angle NCK = \beta \), таким образом:
\(\angle NKC = {180^ \circ }-\left( {\angle KNC + \angle NCK} \right) = \)
\( = {180^ \circ }-\left( {\alpha + \beta } \right) = {180^ \circ }-{90^ \circ } = {90^ \circ }.\)
Следовательно, треугольник KNC – прямоугольный с прямым углом NKC. В четырёхугольнике BMKN сумма противоположных углов равна \({180^ \circ }\) \(\left( {\angle MBN + \angle MKN = {{90}^ \circ } + {{90}^ \circ } = {{180}^ \circ }} \right),\) значит, вокруг него можно описать окружность, причём \(BM = BN\) как половины сторон. Следовательно, дуги BM и BN будут равны. Поэтому: \(\angle BKM = \angle BKN = \dfrac{{\angle MKN}}{2} = \dfrac{{{{90}^ \circ }}}{2} = {45^ \circ }.\) Что и требовалось доказать.
б) Треугольники AMD и MBC равны (по двум катетам: \(AM = BM\) как половины сторон, \(AD = BC\) как стороны квадрата), следовательно: \(\angle AMD = \angle BMC = \alpha .\) В четырёхугольнике AMKD: \(\angle MAD + \angle MKD = {180^ \circ },\) следовательно, вокруг него можно описать окружность, причём \(\angle AMD = \angle AKD = \alpha \) (так как опираются на одну дугу AD). Тогда \(\angle AKM = \angle MKD-\angle AKD = {90^ \circ }-\alpha = \beta \) и \(\angle BKA = \angle BKM + \angle AKM = {45^ \circ } + \beta .\) В прямоугольном треугольнике MBC по теореме Пифагора:
\(CM = \sqrt {B{C^2} + B{M^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt {20} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {20} } \right)}^2}} = 10.\)
Тогда:
\(\sin \beta = \dfrac{{BM}}{{CM}} = \dfrac{{\sqrt {20} }}{{10}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5},\,\,\,\cos \beta = \dfrac{{BC}}{{CM}} = \dfrac{{2\sqrt {20} }}{{10}} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}.\)
В треугольнике ABK по теореме синусов:
\(\dfrac{{AB}}{{\sin \left( {{{45}^ \circ } + \beta } \right)}} = 2R\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,R = \dfrac{{AB}}{{2 \cdot \left( {\sin {{45}^ \circ } \cdot \cos \beta + \cos {{45}^ \circ } \cdot \sin \beta } \right)}} = \dfrac{{2\sqrt {20} }}{{2 \cdot \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}} \right)}} = \dfrac{{10\sqrt 2 }}{3}.\)
Ответ: \(\dfrac{{10\sqrt 2 }}{3}.\)