42В (ЕГЭ 2022). В трапеции ABCD с основанием AD диагонали пересекаются в точке O, AD = 2 BC. Через вершину A проведена прямая параллельная диагонали BD, а через вершину D проведена прямая параллельная диагонали AC, и эти прямые пересекаются в точке E.
а) Докажите, что BO : AE = 1 : 2.
б) Прямые BE и CE пересекают сторону AD в точках M и N соответственно. Найдите MN, если AD = 10.
б) Треугольники AME и DMB подобны (по двум углам: \(\angle AME = \angle BMD\) как вертикальные, \(\angle MAE = \angle BDM\) как накрест лежащие). Следовательно, \(\dfrac{{AM}}{{MD}} = \dfrac{{AE}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{BO + OD}} = \dfrac{{AE}}{{0,5AE + AE}} = \dfrac{{AE}}{{1,5AE}} = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AM = \dfrac{2}{5}AD.\) Аналогично: \(CO = \dfrac{1}{2}AO = \dfrac{1}{2}ED\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AC = AO + CO = ED + \dfrac{1}{2}ED = 1,5ED.\) Треугольники EDN и ACN подобны по двум углам (\(\angle END = \angle ANC\) как вертикальные, \(\angle EDN = \angle CAN\) как накрест лежащие). Следовательно, \(\dfrac{{DN}}{{AN}} = \dfrac{{ED}}{{AC}} = \dfrac{{ED}}{{1,5ED}} = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,DN = \dfrac{2}{5}AD.\) Таким образом: \(MN = AD-AM-DN = AD-\dfrac{2}{5}AD-\dfrac{2}{5}AD = \dfrac{1}{5}AD = \dfrac{1}{5} \cdot 10 = 2.\) Ответ: \(2.\)
а) Треугольники BOC и AOD подобны (по двум углам: \(\angle BOC = \angle AOD\) как вертикальные, \(\angle CBO = \angle ADO\) как накрест лежащие). Следовательно, \(\dfrac{{BO}}{{OD}} = \dfrac{{BC}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{2BC}} = \dfrac{1}{2}.\) Так как \(AO\parallel ED,\,\,\,OD\parallel AE,\) то AODE – параллелограмм, значит: \(AO = ED,\,\,\,OD = AE\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{BO}}{{AE}} = \dfrac{1}{2}.\) Что и требовалось доказать.