43В (ЕГЭ 2023).  Дан ромб ABCD. Прямая, перпендикулярная стороне AD, пересекает его диагональ  AC  в точке M, диагональ BD — в точке N, причем  AM : MC = 1 : 2,   BN : ND = 1 : 3.

а) Докажите, что \(\cos \angle BAD = 0,2.\)

б) Найдите площадь ромба, если  MN = 5.

Ответ

ОТВЕТ: \(60\sqrt 6 .\)

Решение

а) Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O, \(BN = x,\) \(ND = 3x,\)  \(NO = x,\)  \(AM = 2y,\)  \(MC = 4y,\)  \(MO = y.\) Пусть прямая MN пересекает стороны BC и AD в точках K и P соответственно. По теореме Менелая для треугольника CBO и прямой MN:

\(\dfrac{{CK}}{{KB}} \cdot \dfrac{{BN}}{{NO}} \cdot \dfrac{{OM}}{{MC}} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{CK}}{{KB}} \cdot \dfrac{x}{x} \cdot \dfrac{y}{{4y}} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{CK}}{{KB}} = 4.\)

Пусть \(BK = a,\) тогда \(CK = 4a\) и \(BC = 5a.\) Прямоугольные треугольники BNK и DPN подобны (\(\angle BNK = \angle PND\) как вертикальные). Следовательно: \(\dfrac{{BK}}{{PD}} = \dfrac{{BN}}{{ND}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{a}{{PD}} = \dfrac{x}{{3x}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,PD = 3a.\) Проведём через точку B прямую, параллельную прямой KP, которая пересекает AD в точке H. Четырёхугольник PHBK является прямоугольником, поэтому \(PH = BK = a.\) Следовательно, \(AH = AD-HP-PD = 5a-a-3a = a.\) По определению косинуса из прямоугольного треугольника ABH: \(\cos \angle BAD = \dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{a}{{5a}} = \dfrac{1}{5}.\) Что и требовалось доказать.

б) Пусть \(\angle BAC = \angle DAC = \alpha .\) Тогда \(\angle AMP = \angle MNO = {90^ \circ }-\alpha \) и \(\angle MNO = \alpha .\) Так как:   \(\cos 2\alpha  = \dfrac{1}{5},\)   то:

\(2{\cos ^2}\alpha -1 = \dfrac{1}{5}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos \alpha  = \sqrt {\dfrac{{\dfrac{6}{5}}}{2}}  = \sqrt {\dfrac{3}{5}} .\)

В треугольнике MNO:  \(NO = MN \cdot \cos \alpha  = 5 \cdot \sqrt {\dfrac{3}{5}}  = \sqrt {15} ,\) значит: \(BD = 4NO = 4\sqrt {15} .\) Используя основное тригонометрическое тождество:

\(\sin \alpha  = \sqrt {1-{{\cos }^2}\alpha }  = \sqrt {1-{{\left( {\sqrt {\dfrac{3}{5}} } \right)}^2}}  = \sqrt {\dfrac{2}{5}} .\)

Тогда \(MO = MN \cdot \sin \alpha  = 5 \cdot \sqrt {\dfrac{2}{5}}  = \sqrt {10} ,\) значит:  \(AC = 6MO = 6\sqrt {10} .\) Следовательно:

\({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt {10}  \cdot 4\sqrt {15}  = 60\sqrt 6 .\)

Ответ: \(60\sqrt 6 .\)