44В (ЕГЭ 2023). Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ АС в точке М, а диагональ BD в точке N, причём АМ : МС = 1 : 2, BN : ND = 1 : 3.
a) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба ВС в отношении 1 : 4.
б) Найдите сторону ромба, если \(MN = \sqrt 6 .\)
\(\frac{{CK}}{{KB}} \cdot \frac{{BN}}{{NO}} \cdot \frac{{OM}}{{MC}} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{CK}}{{KB}} \cdot \frac{x}{x} \cdot \frac{y}{{4y}} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{CK}}{{KB}} = 4.\) Что и требовалось доказать. б) Пусть \(BK = a,\) тогда \(CK = 4a\) и \(BC = 5a.\) Прямоугольные треугольники BNK и DPN подобны (\(\angle BNK = \angle PND\) как вертикальные). Следовательно: \(\frac{{BK}}{{PD}} = \frac{{BN}}{{ND}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{a}{{PD}} = \frac{x}{{3x}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,PD = 3a.\) Проведём через точку B прямую, параллельную прямой KP, которая пересекает AD в точке H. Четырёхугольник PHBK является прямоугольником, поэтому \(PH = BK = a.\) Следовательно, \(AH = AD-HP-PD = 5a-a-3a = a.\) По определению косинуса из прямоугольного треугольника ABH: \(\cos \angle BAD = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{a}{{5a}} = \frac{1}{5}.\) Пусть \(\angle BAC = \angle DAC = \alpha .\) Тогда \(\angle AMP = \angle MNO = {90^ \circ }-\alpha \) и \(\angle MNO = \alpha .\) Так как \(\cos 2\alpha = \frac{1}{5},\) то: \(2{\cos ^2}\alpha -1 = \frac{1}{5}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos \alpha = \sqrt {\frac{{\frac{6}{5}}}{2}} = \sqrt {\frac{3}{5}} .\) Из прямоугольного треугольника MNO: \(\cos \angle MNO = \frac{{NO}}{{MN}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sqrt {\frac{3}{5}} = \frac{{NO}}{{\sqrt 6 }}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,NO = \sqrt {\frac{{18}}{5}} .\) Следовательно, \(BO = 2 \cdot \sqrt {\frac{{18}}{5}} .\) По теореме Пифагора в треугольнике MNO: \(M{O^2} + O{N^2} = M{N^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,MO = \sqrt {6-\frac{{18}}{5}} = \sqrt {\frac{{12}}{5}} .\) Следовательно, \(AO = 3 \cdot \sqrt {\frac{{12}}{5}} .\) По теореме Пифагора из треугольника ABO: \(A{B^2} = A{O^2} + B{O^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AB = \sqrt {9 \cdot \frac{{12}}{5} + 4 \cdot \frac{{18}}{5}} = 6.\) Ответ: \(6.\)
а) Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O, \(BN = x,\) \(ND = 3x,\) \(NO = x,\) \(AM = 2y,\) \(MC = 4y,\) \(MO = y.\) Пусть прямая MN пересекает стороны BC и AD в точках K и P соответственно. По теореме Менелая для треугольника CBO и прямой MN: