а) Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O, \(BN = x,\) \(ND = 3x,\) \(NO = x,\) \(AM = 2y,\) \(MC = 4y,\) \(MO = y.\) Пусть прямая MN пересекает стороны BC и AD в точках K и P соответственно. По теореме Менелая для треугольника CBO и прямой MN:
\(\dfrac{{CK}}{{KB}} \cdot \dfrac{{BN}}{{NO}} \cdot \dfrac{{OM}}{{MC}} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{CK}}{{KB}} \cdot \dfrac{x}{x} \cdot \dfrac{y}{{4y}} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{CK}}{{KB}} = 4.\)
Что и требовалось доказать.
б) Пусть \(BK = a,\) тогда \(CK = 4a\) и \(BC = 5a.\) Прямоугольные треугольники BNK и DPN подобны (\(\angle BNK = \angle PND\) как вертикальные). Следовательно:
\(\dfrac{{BK}}{{PD}} = \dfrac{{BN}}{{ND}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{a}{{PD}} = \dfrac{x}{{3x}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,PD = 3a.\)
Проведём через точку B прямую, параллельную прямой KP, которая пересекает AD в точке H. Четырёхугольник PHBK является прямоугольником, поэтому \(PH = BK = a.\) Следовательно, \(AH = AD-HP-PD = 5a-a-3a = a.\) По определению косинуса из прямоугольного треугольника ABH: \(\cos \angle BAD = \dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{a}{{5a}} = \dfrac{1}{5}.\) Пусть \(\angle BAC = \angle DAC = \alpha .\) Тогда \(\angle AMP = \angle MNO = {90^ \circ }-\alpha \) и \(\angle MNO = \alpha .\) Так как \(\cos 2\alpha = \dfrac{1}{5},\) то:
\(2{\cos ^2}\alpha -1 = \dfrac{1}{5}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos \alpha = \sqrt {\dfrac{{\dfrac{6}{5}}}{2}} = \sqrt {\dfrac{3}{5}} .\)
Из прямоугольного треугольника MNO:
\(\cos \angle MNO = \dfrac{{NO}}{{MN}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sqrt {\dfrac{3}{5}} = \dfrac{{NO}}{{\sqrt 6 }}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,NO = \sqrt {\dfrac{{18}}{5}} .\)
Следовательно, \(BO = 2 \cdot \sqrt {\dfrac{{18}}{5}} .\) По теореме Пифагора в треугольнике MNO:
\(M{O^2} + O{N^2} = M{N^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,MO = \sqrt {6-\dfrac{{18}}{5}} = \sqrt {\dfrac{{12}}{5}} .\)
Следовательно, \(AO = 3 \cdot \sqrt {\dfrac{{12}}{5}} .\) По теореме Пифагора из треугольника ABO:
\(A{B^2} = A{O^2} + B{O^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AB = \sqrt {9 \cdot \dfrac{{12}}{5} + 4 \cdot \dfrac{{18}}{5}} = 6.\)
Ответ: \(6.\)