47В (ЕГЭ 2023). К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?
\(AM + MN + AN = AM + MT + NT + AN = \) \( = \left( {AM + M{M_1}} \right) + \left( {N{N_1} + AN} \right) = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AD = AB.\) Что и требовалось доказать. б) Пусть сторона квадрата \(AB = 12a,\,\,\,TN = N{N_1} = x.\) Тогда: \(AM = 3a,\,\,\,AN = A{N_1}-N{N_1} = 6a-x,\,\,\,MN = MT + TN = 3a + x.\) В прямоугольном треугольнике MAN по теореме Пифагора: \(A{M^2} + A{N^2} = M{N^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,9{a^2} + {\left( {6a-x} \right)^2} = {\left( {3a + x} \right)^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 2a.\) Тогда: \(AN = 4a,\,\,\,DN = 8a.\) Пусть точка O – центр окружности, \(PO \cap BC = H.\) Треугольники DPN и ANM подобны по двум углам: \(\angle PND = \angle ANM\) как вертикальные, \(\angle NPD = \angle NMA\) как накрест лежащие. Тогда: \(\frac{{PD}}{{AM}} = \frac{{DN}}{{AN}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{PD}}{{3a}} = \frac{{8a}}{{4a}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,PD = 6a.\) Треугольники PKO и PCH подобны по двум углам: \(\angle P\) — общий, \(\angle PKO = \angle PCH.\) Следовательно, \(\frac{{KO}}{{CH}} = \frac{{PK}}{{PC}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{6a}}{{CH}} = \frac{{12a}}{{18a}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,CH = 9a.\) Тогда \(BH = CB-CH = 12a-9a = 3a\) и \(\frac{{BH}}{{CH}} = \frac{{3a}}{{9a}} = \frac{1}{3}.\) Ответ: \(1:3.\)
а) Пусть окружность, вписанная в квадрат ABCD, касается его стороны AB в точке \({M_1}\), стороны AD в точке \({N_1}\), стороны DC в точке K, а прямой MN в точке T. По свойству касательных: \(N{N_1} = NT,\) \(M{M_1} = MT,\) \(A{N_1} = A{M_1}.\) Тогда: