5В. На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна \(16,\) а один из его углов равен \({60^ \circ }.\)
б) Пусть \(\angle BAD = {60^ \circ }.\) По условию площадь параллелограмма ABCD равна 16, тогда: \({S_{ABCD}} = KR \cdot AB = MN \cdot AD = AB \cdot AD \cdot \sin {60^ \circ } = 16\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,KR = \frac{{{S_{ABCD}}}}{{AB}},\,\,\,MN = \frac{{{S_{ABCD}}}}{{AD}}.\) Из четырёхугольника AKON \(\angle KON = {360^ \circ }-{90^ \circ }-{90^ \circ }-{60^ \circ } = {120^ \circ }.\) Тогда площадь трапеции KMRN: \({S_{KMRN}} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot KR \cdot \sin {120^ \circ } = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{S_{ABCD}}}}{{AD}} \cdot \frac{{{S_{ABCD}}}}{{AB}} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{AB \cdot AD \cdot \sin {{60}^ \circ }}}{{AD}} \cdot \frac{{{S_{ABCD}}}}{{AB}} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot 16 = 6.\) Ответ: \(6.\)
а) В параллелограмме ABCD на диагонали AC возьмём точку О и проведём высоты OK, OM, OR и ON на стороны AB, BC, CD и AD соответственно. Так как в четырёхугольнике AKON \(\angle AKO = \angle ANO = {90^ \circ },\) то вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность. Следовательно, \(\angle NAO = \angle NKO\) (так как опираются на одну дугу). Так как в четырёхугольнике CMOR \(\angle CMO = \angle CRO = {90^ \circ },\) то вокруг этого четырёхугольника также можно описать окружность. Следовательно, \(\angle OCM = \angle MRO\) (так как опираются на одну дугу). В параллелограмме ABCD: \(\angle DAC = \angle BCA\) (как накрест лежащие), поэтому \(\angle NKR = \angle MRK.\) Следовательно, \(MR\parallel KN\) и KMRN – трапеция (параллелограмм исключен, так как для этого необходимо, чтобы точка O была серединой диагонали AC, что является противоречием согласно условию). Что и требовалось доказать.