6В. Дан выпуклый четырёхугольник \(ABCD.\)
а) Докажите, что отрезки \(LN\) и \(KM,\) соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б) Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD,\) если \(LM = 3\sqrt 3 ,\) \(KM = 6\sqrt 3 ,\) \(\angle KML = {60^ \circ }.\)
б) Так как KLMN – параллелограмм, то \({S_{KLMN}} = 2{S_{KLM}}.\) А так как его вершины – середины сторон четырёхугольника ABCD, то \({S_{ABCD}} = 2{S_{KLMN}}\) (смотри https://math100.ru/ege_profil_16_2-2/). Найдем площадь треугольника KLM: \({S_{KLM}} = \frac{1}{2} \cdot LM \cdot KM \cdot \sin {60^ \circ } = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt 3 \cdot 6\sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{27\sqrt 3 }}{2}.\) Тогда искомая площадь \({S_{ABCD}} = 2{S_{KLMN}} = 2 \cdot 2{S_{KLM}} = 4{S_{KLM}} = 4 \cdot \frac{{27\sqrt 3 }}{2} = 54\sqrt 3 .\) Ответ: \(54\sqrt 3 .\)
а) Отрезки LM и KN являются средними линиями треугольников BCD и ABD соответственно. Значит, \(LM\parallel BD\parallel KN\) и \(LM = KN = \frac{{BD}}{2}.\) Следовательно, четырёхугольник KLMN является параллелограммом, диагонали которого LN и KM делят друг друга пополам. Что и требовалось доказать.