Профиль №17. Многоугольники. Задача 6Вmath100admin44242025-04-01T08:00:35+03:00
6В. Дан выпуклый четырёхугольник \(ABCD.\)
а) Докажите, что отрезки \(LN\) и \(KM,\) соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б) Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD,\) если \(LM = 3\sqrt 3 ,\) \(KM = 6\sqrt 3 ,\) \(\angle KML = {60^ \circ }.\)
Решение
а) Отрезки LM и KN являются средними линиями треугольников BCD и ABD соответственно. Значит, \(LM\parallel BD\parallel KN\) и \(LM = KN = \dfrac{{BD}}{2}.\) Следовательно, четырёхугольник KLMN является параллелограммом, диагонали которого LN и KM делят друг друга пополам. Что и требовалось доказать.
б) Так как KLMN – параллелограмм, то \({S_{KLMN}} = 2{S_{KLM}}.\)
А так как его вершины – середины сторон четырёхугольника ABCD, то \({S_{ABCD}} = 2{S_{KLMN}}\) (смотри https://math100.ru/ege_profil_16_2-2/).
Найдем площадь треугольника KLM: \({S_{KLM}} = \dfrac{1}{2} \cdot LM \cdot KM \cdot \sin {60^ \circ } = \dfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt 3 \cdot 6\sqrt 3 \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{27\sqrt 3 }}{2}.\)
Тогда искомая площадь \({S_{ABCD}} = 2{S_{KLMN}} = 2 \cdot 2{S_{KLM}} = 4{S_{KLM}} = 4 \cdot \dfrac{{27\sqrt 3 }}{2} = 54\sqrt 3 .\)
Ответ: \(54\sqrt 3 .\)