Профиль №17. Многоугольники. Задача 7В

7В. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Диагонали четырёхугольника перпендикулярны, пересекаются в точке P, отличной от O, и не проходят через точку O. Точки M и N — середины диагоналей AC и BD соответственно.

а) Докажите, что прямая OP проходит через середину отрезка MN.

б) Найдите площадь четырёхугольника OMPN, если AC = BD, а MN = 10.

Ответ

ОТВЕТ: \(50.\)

Решение

а) В треугольниках OBD и OAC \(OB = OD = OA = OC = R,\) поэтому их медианы OM и ON являются высотами. Следовательно, \(OM \bot AC\) и \(ON \bot BD.\) Значит, четырёхугольник MONP является прямоугольником, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, значит, OP проходит через середину MN. Что и требовалось доказать.

б) Из условия \(AC = BD\) следует, что \(\Delta OBD = \Delta OAC\) по трём сторонам, поэтому \(OM = ON\) и MONP является квадратом. Значит, \(OP = MN = 10\) и

\({S_{MNOP}} = \dfrac{1}{2} \cdot OP \cdot MN \cdot \sin {90^ \circ } = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1 = 50.\)

Ответ: \(50.\)