а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, следовательно \(A{O_1},\,\,\,B{O_1}\) — биссектрисы углов DAB и CBA, сумма которых равна \({180^ \circ }\), значит, \(\angle {O_1}AB + {O_1}BA = {90^ \circ }\) и
\(\angle A{O_1}B = {180^ \circ }-(\angle {O_1}AB + \angle {O_1}BA) = {180^ \circ }-{90^ \circ } = {90^ \circ }.\)
Что и требовалось доказать.
б) Пусть окружность с центром \({O_1}\) касается стороны AB в точке M, стороны BC — в точке K и \(AM = 4.\) Каждая из окружностей касается параллельных прямых AD и BC, значит, радиусы окружностей равны. Расстояние между точками их касания с большей стороной параллелограмма равно сумме их радиусов, значит, \(KR = BH = 4.\) Так как радиус \({O_1}M\)— высота прямоугольного треугольника \(A{O_1}B\), проведенная из вершины прямого угла, то \({O_1}{M^2} = AM \cdot BM\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,BM = \dfrac{{{O_1}{M^2}}}{{AM}} = \dfrac{{{2^2}}}{4} = 1.\) При этом \(BM = BK\) как касательные.
Если окружность с центром \({O_2}\) касается сторон CD и BC в точках N и L соответственно, то \(CL = CN = AM = 4.\) Расстояние между центрами окружностей соответственно равно сумме их радиусов, так как \({R_1} = {R_2} = 2\) из равенства окружностей, значит, \({O_1}{O_2} = 2 + 2 = 4= KL.\)
Тогда \(BC = AD = BK + KL + LC = 1 + 4 + 4 = 9,\) а так как \(KR = BH = 4\), то искомая площадь \({S_{ABCD}} = BH \cdot AD = 9 \cdot 4 = 36.\)
Ответ: \(36.\)