8В. В параллелограмме лежат две окружности, касающиеся друг друга и трёх сторон параллелограмма каждая.
а) Докажите, что одна из сторон параллелограмма видна из центра одной из окружностей под прямым углом.
б) Найдите площадь параллелограмма, если радиус одной из окружностей равен 2, а один из отрезков стороны параллелограмма от вершины до точки касания с одной из окружностей равен 4.
\(\angle A{O_1}B = {180^ \circ }-(\angle {O_1}AB + \angle {O_1}BA) = {180^ \circ }-{90^ \circ } = {90^ \circ }.\) Что и требовалось доказать. б) Пусть окружность с центром \({O_1}\) касается стороны AB в точке M, стороны BC — в точке K и \(AM = 4.\) Каждая из окружностей касается параллельных прямых AD и BC, значит, радиусы окружностей равны. Расстояние между точками их касания с большей стороной параллелограмма равно сумме их радиусов, значит, \(KR = BH = 4.\) Так как радиус \({O_1}M\)— высота прямоугольного треугольника \(A{O_1}B\), проведенная из вершины прямого угла, то \({O_1}{M^2} = AM \cdot BM\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,BM = \frac{{{O_1}{M^2}}}{{AM}} = \frac{{{2^2}}}{4} = 1.\) При этом \(BM = BK\) как касательные. Если окружность с центром \({O_2}\) касается сторон CD и BC в точках N и L соответственно, то \(CL = CN = AM = 4.\) Расстояние между центрами окружностей соответственно равно сумме их радиусов, так как \({R_1} = {R_2} = 2\) из равенства окружностей, значит, \({O_1}{O_2} = 2 + 2 = 4= KL.\) Тогда \(BC = AD = BK + KL + LC = 1 + 4 + 4 = 9,\) а так как \(KR = BH = 4\), то искомая площадь \({S_{ABCD}} = BH \cdot AD = 9 \cdot 4 = 36.\) Ответ: \(36.\)
а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, следовательно \(A{O_1},\,\,\,B{O_1}\) — биссектрисы углов DAB и CBA, сумма которых равна \({180^ \circ }\), значит, \(\angle {O_1}AB + {O_1}BA = {90^ \circ }\) и