9В. Отрезок, соединяющий вершину A ромба ABCD с серединой стороны BC, равен стороне ромба.
а) Докажите, что высота ромба, проведённая из вершины C, делит сторону AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Найдите диагональ AC ромба, если сторона ромба равна \(\sqrt 6 \).
Пусть CP – высота ромба, опущенная на сторону AD. Прямоугольные треугольники CPD и AHB равны, поэтому \(DP = BH.\) Из равенства треугольников и сторон ромба следует: \(\frac{{DP}}{{AP}} = \frac{{BH}}{{CH}} = \frac{1}{3}.\) Следовательно, \(AP = 3DP.\) Что и требовалось доказать. б) Пусть \(\angle ABC = \alpha .\) Из прямоугольного треугольника AHB находим \(\cos \alpha = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{1}{4}.\) Из треугольника ABC по теореме косинусов: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \alpha } = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}-2 \cdot \sqrt 6 \cdot \sqrt 6 \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt 9 = 3.\) Ответ: \(3.\)
а) Пусть K – середина стороны BC ромба, AH – высота, опущенная на сторону BC. Так как треугольник ABK равнобедренный (\(AB = AK\)), то H – середина BK. Пусть сторона ромба – \(4a\), тогда \(AB = AK = 4a,\,\,\,BH = a,\) значит \(CH = 3BH = 3a.\)