1В. При каких значениях параметра а множества решений уравнений \(\left( {{a^2} + a-6} \right)x = 2{a^2}-3a-2\) и \(\left( {3{a^2}-a-10} \right)x = 3{a^2}-4a-4\) совпадают?
ОТВЕТ: \(-1;\,\,\,\,\frac{1}{3};\,\,\,\,2.\)
Разложим квадратные трёхчлены заданных уравнений на множители. \(\left( {{a^2} + a-6} \right)x = 2{a^2}-3a-2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a + 3} \right)\left( {a-2} \right)x = \left( {a-2} \right)\left( {2a + 1} \right).\) \(\left( {3{a^2}-a-10} \right)x = 3{a^2}-4a-4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-2} \right)\left( {3a + 5} \right)x = \left( {a-2} \right)\left( {3a + 2} \right).\) Рассмотрим первое уравнение: \(\left( {a + 3} \right)\left( {a-2} \right)x = \left( {a-2} \right)\left( {2a + 1} \right).\) Если \(a = 2,\) то \(0 \cdot x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in R.\) Если \(a = -3,\) то \(0 \cdot x = 25\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Если \(a \ne 2,\;\;\;\;a \ne -3,\) то \({x_1} = \frac{{2a + 1}}{{a + 3}}.\) Рассмотрим второе уравнение: \(\left( {a-2} \right)\left( {3a + 5} \right)x = \left( {a-2} \right)\left( {3a + 2} \right).\) Если \(a = 2,\) то \(0 \cdot x = x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in R.\) Если \(a = -\frac{5}{3},\) то \(0 \cdot x = 11\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Если \(a \ne 2,\;\;\;\;a \ne -\frac{5}{3},\) то \({x_2} = \frac{{3a + 2}}{{3a + 5}}.\) Множество решений исходных уравнений будут совпадать при \(a = 2\) и \({x_1} = {x_2}.\) Тогда: \(\frac{{2a + 1}}{{a + 3}} = \frac{{3a + 2}}{{3a + 5}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3{a^2} + 2a-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = -1,}\\{a = \frac{1}{3}.\;}\end{array}} \right.\) Таким образом, множество решений уравнений совпадают при \(a = 2,\;\;\;\;a = -1,\;\;\;\;a = \frac{1}{3}.\) Ответ: \(-1;\,\,\,\,\frac{1}{3};\,\,\,\,2.\)