10В. При каких значениях параметра а уравнение \(\left( {{3^{\cos x}}-1} \right){a^2}-\left( {5 \cdot {3^{\cos x}}-2} \right)a + 2 \cdot {3^{\cos x + 1}} = 0\) имеет хотя бы один корень?
Пусть \({3^{\cos x}} = t.\) Так как \(-1 \le \cos x \le 1,\) то \(t \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right].\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(\left( {t-1} \right){a^2}-\left( {5t-2} \right)a + 6t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2}t-{a^2}-5at + 2a + 6t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{a^2}-5a + 6} \right)t = {a^2}-2a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-2} \right)\left( {a-3} \right)t = a\left( {a-2} \right).\) Если \(a = 2,\) то \(0 \cdot t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t \in R.\) Если \(a = 3,\) то \(0 \cdot t = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Если \(a \ne 2,\;\;\;\;a \ne 3,\) то \(t = \frac{a}{{a-3}}.\) Так как \(t \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right],\) то: \(\frac{1}{3} \le \frac{a}{{a-3}} \le 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{a-3}} \le 3,}\\{\frac{a}{{a-3}} \ge \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2a-9}}{{a-3}} \ge 0,}\\{\frac{{2a + 3}}{{a-3}} \ge 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;3} \right) \cup \left[ {4,5;\infty } \right),\;\,}\\{a \in \left( {-\infty ;-1,5} \right] \cup \left( {3;\infty } \right).}\end{array}} \right.\) Найдём общее решение полученной системы: Следовательно, \(a \in \left( {-\infty ;-1,5} \right] \cup \left[ {4,5;\infty } \right).\) Таким образом, при \(a \in \left( {-\infty ;-1,5} \right] \cup \left\{ 2 \right\} \cup \left[ {4,5;\infty } \right)\) уравнение имеет хотя бы один корень. Ответ: \(\left( {-\infty ;-1,5} \right] \cup \left\{ 2 \right\} \cup \left[ {4,5;\infty } \right).\)