11В. При каких значениях параметра a неравенство  \(\left| {3x-5a-3} \right| \le 7-5a-x\) имеет единственное решение?

Ответ

ОТВЕТ:  \(0,9.\)

Решение

Неравенство вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| \le g\left( x \right)\)  равносильно двойному неравенству:

\(-g\left( x \right) \le f\left( x \right) \le g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) \le g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) \ge -g\left( x \right).}\end{array}} \right.\)

\(\left| {3x-5a-3} \right| \le 7-5a-x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-7 + 5a + x \le 3x-5a-3 \le 7-5a-x\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x-5a-3 \le 7-5a-x,\;\,}\\{3x-5a-3 \ge -7 + 5a + x}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x \le 10,\;\;\;\;\,\,\,}\\{2x \ge 10a-4}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 2,5,\,\;\,\,\,}\\{x \ge 5a-2.}\end{array}} \right.\)

Исходное неравенство будет иметь единственное решение, если:

\(5a-2 = 2,5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 0,9.\)

Ответ:  \(0,9.\)