12В. При каких значениях параметра a неравенство \(\left| {3x-4a-1} \right| \le 5-4a-x\) имеет единственное решение?
ОТВЕТ: \(0,875.\)
Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| \le g\left( x \right)\) равносильно двойному неравенству: \(-g\left( x \right) \le f\left( x \right) \le g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) \le g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) \ge -g\left( x \right).}\end{array}} \right.\) \(\left| {3x-4a-1} \right| \le 5-4a-x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-5 + 4a + x \le 3x-4a-1 \le 5-4a-x\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x-4a-1 \le 5-4a-x,\;\,}\\{3x-4a-1 \ge -5 + 4a + x}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x \le 6,\;\;\;\;\,\,\,}\\{2x \ge 8a-4}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 1,5,\,\;\;\,\,\,\,}\\{x \ge 4a-2.}\end{array}} \right.\) Исходное неравенство будет иметь единственное решение, если: \(4a-2 = 1,5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 0,875.\) Ответ: \(0,875.\)