12А. При каких значениях параметра а все решения уравнения  \(a\left( {a + 2x} \right) = 7x + 2a + 5\)  удовлетворяют условию  \(x \geqslant -3\)?

Ответ

ОТВЕТ: \(a \in \left( {-\infty ;\,\,3,5} \right) \cup \left\{ 4 \right\}.\)

Решение

\(a\left( {a + 2x} \right) = 7x + 2a + 5\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{a^2} + 2ax-7x = 2a + 5\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left( {2a-7} \right)x = -{a^2} + 2a + 5.\)

Если  \(2a-7 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a = \frac{7}{2},\)  то уравнение примет вид  \(0 \cdot x = -\frac{1}{4},\)  то есть оно не имеет решений.  Следовательно, \(a = \frac{7}{2}\)  не подходит.

Если \(a \ne \frac{7}{2}\), то  \(x = \frac{{-{a^2} + 2a + 5}}{{2a-7}}.\)

По условию:  \(\frac{{-{a^2} + 2a + 5}}{{2a-7}} \ge -3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{-{a^2} + 8a-16}}{{2a-7}} \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{{{\left( {a-4} \right)}^2}}}{{2a-7}} \le 0.\)

Решим последнее неравенство методом интервалов:

Следовательно,   \(a\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{7}{2}} \right) \cup \left\{ 4 \right\}.\) 

Ответ:  \(\,\left( {-\infty ;\frac{7}{2}} \right) \cup \left\{ 4 \right\}\).