13В. При каких значениях параметра a неравенство \(ax + 2-\frac{a}{3} > 0\) выполняется при всех \(x \in \left( {1;\,2} \right)\)?
ОТВЕТ: \(\left[ {-1,2;\,\infty } \right).\)
\(ax + 2-\frac{a}{3} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;ax > \frac{a}{3}-2.\) Если \(a = 0,\) то \(0 \cdot x > -2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in R.\) Следовательно, неравенство выполнится при всех \(x \in \left( {1;2} \right).\) Если \(a > 0,\) то \(x > \frac{1}{3}-\frac{2}{a}.\) Значит, неравенство выполнится при всех \(x \in \left( {1;2} \right),\) если: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{3}-\frac{2}{a} \le 1,}\\{a > 0\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{a} + \frac{2}{3} \ge 0,}\\{a > 0\;\,\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2a + 6}}{{3a}} \ge 0,}\\{a > 0\;\,\;\;\;\;\,\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-3} \right] \cup \left( {0;\infty } \right),}\\{a > 0\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {0;\infty } \right).\) Если \(a < 0,\) то \(x < \frac{1}{3}-\frac{2}{a}.\) Следовательно, неравенство выполнится при всех \(x \in \left( {1;2} \right),\) если: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{3}-\frac{2}{a} \ge 2,}\\{a < 0\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{a} + \frac{5}{3} \le 0,}\\{a < 0\;\,\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{5a + 6}}{{3a}} \le 0,}\\{a < 0\;\,\;\;\;\;\,\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ {-1,2;0} \right),}\\{a < 0\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-1,2;0} \right).\) Таким образом, при \(a \in \left[ {-1,2;\,\infty } \right)\) исходное неравенство выполняется при всех \(x \in \left( {1;2} \right).\) Ответ: \(\left[ {-1,2;\,\infty } \right).\)