\(ax + 2-\dfrac{a}{3} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;ax > \dfrac{a}{3}-2.\)
Если \(a = 0,\) то \(0 \cdot x > -2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in R.\)
Следовательно, неравенство выполнится при всех \(x \in \left( {1;2} \right).\)
Если \(a > 0,\) то \(x > \dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{a}.\)
Значит, неравенство выполнится при всех \(x \in \left( {1;2} \right),\) если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{a} \le 1,}\\{a > 0\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{3} \ge 0,}\\{a > 0\;\,\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{2a + 6}}{{3a}} \ge 0,}\\{a > 0\;\,\;\;\;\;\,\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-3} \right] \cup \left( {0;\infty } \right),}\\{a > 0\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {0;\infty } \right).\)
Если \(a < 0,\) то \(x < \dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{a}.\)
Следовательно, неравенство выполнится при всех \(x \in \left( {1;2} \right),\) если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{a} \ge 2,}\\{a < 0\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{2}{a} + \dfrac{5}{3} \le 0,}\\{a < 0\;\,\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{5a + 6}}{{3a}} \le 0,}\\{a < 0\;\,\;\;\;\;\,\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ {-1,2;0} \right),}\\{a < 0\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-1,2;0} \right).\)
Таким образом, при \(a \in \left[ {-1,2;\,\infty } \right)\) исходное неравенство выполняется при всех \(x \in \left( {1;2} \right).\)
Ответ: \(\left[ {-1,2;\,\infty } \right).\)