15В. При каких значениях параметра a множество решений уравнения \(\left( {2{a^2}-a-1} \right)\,x = 5a-5\) и неравенства \(\left( {6{a^2} + a-1} \right)\,x \ge 3a + 2\) совпадают?
ОТВЕТ: \(-\frac{1}{2}.\)
Разложим квадратные трёхчлены заданного уравнения и неравенства на множители. \(\left( {2{a^2}-a-1} \right)\,x = 5a-5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2a + 1} \right)\left( {a-1} \right)x = 5\left( {a-1} \right).\) \(\left( {6{a^2} + a-1} \right)\,x \ge 3a + 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {3a-1} \right)\left( {2a + 1} \right)x \ge 3a + 2.\) Если \(a = 1,\) то уравнение примет вид \(0 \cdot x = 0,\) то есть решением является \(x \in R,\) а неравенство \(6x \ge 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge \frac{5}{6},\) значит множество решений не совпадают. Если \(a = -\frac{1}{2},\) то уравнение примет вид \(0 \cdot x = -\frac{{15}}{2},\) то есть оно не имеет решений, а неравенство \(0 \cdot x \ge \frac{1}{2}\) также не имеет решений, значит множество решений совпадают. Если \(a = \frac{1}{3},\) то уравнение примет вид \(-\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}x = -5 \cdot \frac{2}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 3,\) а неравенство \(0 \cdot x \ge 3\) не имеет решений, значит множество решений не совпадают. Если \(a \ne 1,\;\;\;\;a \ne -\frac{1}{2},\;\;\;\;a \ne \frac{1}{3},\) то решением уравнения является корень \(x = \frac{5}{{2a + 1}},\) а решением неравенства интервал, значит множество решений не совпадают. Таким образом, множество решений уравнения и неравенства совпадают при \(a = -\frac{1}{2}.\) Ответ: \(-\frac{1}{2}.\)