Линейные неравенства и приводимые к ним неравенства с параметрами. Задача 15А

15А. Решите неравенство при всех значениях параметра а: \(\left( {{a^2}-a} \right)x < 3-3a\).

Ответ

ОТВЕТ: \(x \in R\) при \(a = 0;\) нет решений при \(a = 1\); \(x \in \left( {-\frac{3}{a};\infty } \right)\) при \(a \in \left( {0;1} \right)\); \(x \in \left( {-\infty ;-\frac{3}{a}} \right)\) при \(a \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)\).

Решение

\({a^2}-a = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0,}\\{a = 1.}\end{array}} \right.\,\)

Если \(a = 0\), то неравенство примет вид \(0 \cdot x < 3\), то есть \(x\, \in \,R.\)

Если \(a = 1\), то неравенство примет вид \(0 \cdot x < 0\), в этом случае решений нет.

Если \({a^2}-a > 0\), то есть \(a\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)\), то:

\(x < \frac{{3-3a}}{{{a^2}-a}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x < \frac{{-3\left( {a-1} \right)}}{{a\left( {a-1} \right)}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x < -\frac{3}{a}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;\,\,-\frac{3}{a}} \right).\)

Если \({a^2}-a < 0\), то есть \(a\, \in \,\left( {0;1} \right)\), то:

\(x > \frac{{3-3a}}{{{a^2}-a}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x > -\frac{3}{a}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\frac{3}{a};\,\infty } \right).\)