16В. При каких значениях параметра a множество решений уравнения \(\left( {{a^3}-a} \right)\,x = 2{a^{12}}-3a\) и неравенства \(\left( {{a^2}-a} \right)\,x < 3-3a\) совпадают?
ОТВЕТ: \(0;\,\,\,\,1.\)
\(\left( {{a^3}-a} \right)\,x = 2{a^{12}}-3a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a\left( {a-1} \right)\left( {a + 1} \right)\,x = a\left( {2{a^{11}}-3} \right).\) \(\left( {{a^2}-a} \right)\,x < 3-3a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a\left( {a-1} \right)\,x < -3\left( {a-1} \right).\) Если \(a = 0,\) то уравнение примет вид \(0 \cdot x = 0,\) то есть решением является \(x \in R,\) а неравенство \(0 \cdot x < 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in R,\) значит множество решений совпадают. Если \(a = 1,\) то уравнение примет вид \(0 \cdot x = -1,\) то есть оно не имеет решений, а неравенство \(0 \cdot x < 0,\) то есть оно также не имеет решений, значит множество решений совпадают. Если \(a = -1,\) то уравнение примет вид \(0 \cdot x = 5,\) то есть оно не имеет решений, а решением неравенства является \(2 \cdot x < 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < 3,\) значит множество решений не совпадают. Если \(a \ne 0,\;\;\;\;a \ne 1,\;\;\;\;a \ne -1,\) то решением уравнения является корень \(x = \frac{{2{a^{11}}-3}}{{\left( {a-1} \right)\left( {a + 1} \right)}},\) а решением неравенства интервал, значит множество решений не совпадают. Таким образом, множество решений уравнения и неравенства совпадают при \(a = 0,\;\;\;\;a = 1.\) Ответ: \(0;\,\,\,\,1.\)