16А. Решите неравенство при всех значениях параметра а:  \({a^2} + ax < 1-x\).

Ответ

ОТВЕТ:  нет решений при \(a = -1;\) \(x \in \left( {-\infty ;1-a} \right)\) при \(a > -1\); \(x \in \left( {1-a;\infty } \right)\) при \(a < -1\).

Решение

\({a^2} + a\,x < 1-x\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {a + 1} \right)x < 1-{a^2}.\)

Если \(a = -1\), то неравенство примет вид  \(0 \cdot x < 0\), в этом случае решений нет.

Если \(a + 1 > 0\), то есть \(a\, \in \,\left( {-1;\infty } \right)\), то:

\(x < \frac{{1-{a^2}}}{{a + 1}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x < \frac{{\left( {1-a} \right)\left( {1 + a} \right)}}{{a + 1}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x < 1-a\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;\,\,1-a} \right).\)

Если \(a + 1 < 0\), то есть  \(a\, \in \,\left( {-\infty ;-1} \right)\), то:

\(x > \frac{{1-{a^2}}}{{a + 1}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x > \frac{{\left( {1-a} \right)\left( {1 + a} \right)}}{{a + 1}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x > 1-a\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \in \left( {1-a\,;\,\infty } \right).\)

ОТВЕТ:  нет решений при \(a = -1;\) \(x \in \left( {-\infty ;1-a} \right)\) при \(a > -1\); \(x \in \left( {1-a;\infty } \right)\) при \(a < -1\).