17В. При каких значениях параметра a множество решений неравенств \(\left( {{a^2}-6a + 8} \right)\,x \le 3a-12\) и \(\left( {2{a^2}-{a^3}} \right)\,x \ge 6a + 7-4{a^2}\) совпадают?
ОТВЕТ: \(2;\,\,\,\,\,7.\)
\(\left( {{a^2}-6a + 8} \right)\,x \le 3a-12\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-2} \right)\left( {a-4} \right)x \le 3\left( {a-4} \right).\) \(\left( {2{a^2}-{a^3}} \right)\,x \ge 6a + 7-4{a^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2}\left( {a-2} \right)x \le 4{a^2}-6a-7.\) Если \(a = 4,\) то первое неравенство примет вид \(0 \cdot x \le 0,\) то есть решением является \(x \in R,\) а второе неравенство \(32x \le 33\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le \frac{{33}}{{32}},\) значит множество решений не совпадают. Если \(a = 2,\) то первое неравенство примет вид \(0 \cdot x \le -6,\) то есть оно не имеет решений, а второе неравенство \(0 \cdot x \le -3\) также не имеет решений, значит множество решений совпадают. Если \(a = 0,\) то первое неравенство примет вид \(8x \le -12\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le -1,5,\) а второе неравенство \(0 \cdot x \le -7\) не имеет решений, значит множество решений не совпадают. Если \(a \ne 0,\,\,\,\,a \ne 2,\,\,\,\,a \ne 4,\) то множество решений могут совпадать, если \({x_1} = \frac{3}{{a-2}}\) и \({x_2} = \frac{{4{a^2}-6a-7}}{{{a^2}\left( {a-2} \right)}}\) равны. \(\frac{3}{{a-2}} = \frac{{4{a^2}-6a-7}}{{{a^2}\left( {a-2} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2}-6a-7 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = -1,}\\{a = 7.\;\,}\end{array}} \right.\) Если \(a = -1,\) то первое неравенство примет вид \(15x \le -15\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le -1,\) а второе неравенство \(-3x \le 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge -1,\) значит множество решений не совпадают. Если \(a = 7,\) то первое неравенство примет вид \(15x \le 9\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le \frac{3}{5},\) а второе неравенство \(245x \le 147\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le \frac{3}{5},\) значит множество решений совпадают. Таким образом, множество решений неравенств совпадают при \(a = 2,\;\;\;\;a = 7.\) Ответ: \(2;\,\,\,\,\,7.\)