18В. При каких значениях параметра a множество решений неравенств \(\left( {{a^2}-a} \right)\,x < 3-3a\) и \(\left( {11a-3{a^2}-8} \right)\,x > {a^2}-6a + 5\) совпадают?
ОТВЕТ: \(1;\,\,\,\,\,12.\)
Разложим квадратные трёхчлены заданных неравенств на множители. \(\left( {{a^2}-a} \right)\,x < 3-3a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a\left( {a-1} \right)\,x < -3\left( {a-1} \right).\) \(\left( {11a-3{a^2}-8} \right)\,x > {a^2}-6a + 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {3a-8} \right)\left( {a-1} \right)\,x < -\left( {a-5} \right)\left( {a-1} \right).\) Если \(a = 1,\) то первое неравенство примет вид \(0 \cdot x < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset ,\) а второе неравенство \(0 \cdot x < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset ,\) значит множество решений совпадают. Если \(a = 0,\) то первое неравенство примет вид \(0 \cdot x < 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in R,\) а второе неравенство \(8x < -5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < -\frac{5}{8},\) значит множество решений не совпадают. Если \(a = \frac{8}{3},\) то первое неравенство примет вид \(\frac{8}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot x < -3 \cdot \frac{5}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < -\frac{9}{8},\) а второе неравенство \(0 \cdot x \le \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in R,\) значит множество решений не совпадают. Если \(a \ne 0,\,\,\,\,a \ne 1,\,\,\,\,a \ne \frac{8}{3},\) то множество решений могут совпадать, если \({x_1} = -\frac{3}{a}\) и \({x_2} = \frac{{5-a}}{{3a-8}}\) равны. \(-\frac{3}{a} = \frac{{5-a}}{{3a-8}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;9a-24 = {a^2}-5a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2}-14a + 24 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2,\;\,}\\{a = 12.}\end{array}} \right.\) Если \(a = 2,\) то первое неравенство примет вид \(2x < -3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < -\frac{3}{2},\) а второе неравенство \(-2x < 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > -\frac{3}{2},\) значит множество решений не совпадают. Если \(a = 12,\) то первое неравенство примет вид \(12 \cdot 11 \cdot x < -3 \cdot 11\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < -\frac{1}{4},\) а второе неравенство \(28 \cdot 11 \cdot x < -7 \cdot \;11\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < -\frac{1}{4},\) значит множество решений совпадают. Таким образом, множество решений неравенств совпадают при \(a = 1,\;\;\;\;a = 12.\) Ответ: \(1;\,\,\,\,\,12.\)