18А. Решите неравенство при всех значениях параметра а: \(2{a^2}x-2a + 2 > \left( {a + 1} \right)x\).
ОТВЕТ: нет решений при \(a = 1;\) \(x \in R\) при \(a = -\frac{1}{2};\) \(x > \frac{2}{{2a + 1}}\) при \(a \in \left( {-\infty ;-\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right);\) \(x < \frac{2}{{2a + 1}}\) при \(a \in \left( {-\frac{1}{2};1} \right).\)
\(2{a^2}x-2a + 2 > \left( {a + 1} \right)x\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2{a^2}x-x-ax > 2a-2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\left( {2{a^2}-a-1} \right) > 2a-2.\) \(2{a^2}-a-1 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1,\,\,\,\,\,\,}\\{a = -\frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\) Если \(a = 1\), то неравенство примет вид \(0 \cdot x > 0\), в этом случае решений нет. Если \(a = -\frac{1}{2}\), то \(0 \cdot x > -3,\) в этом случае решение \(x\, \in \,R.\) Если \(2{a^2}-a-1 > 0\), то есть \(a\, \in \,\left( {-\infty ;-\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)\), то: \(x > \frac{{2a-2}}{{2{a^2}-a-1}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x > \frac{{2\left( {a-1} \right)}}{{\left( {a-1} \right)\left( {2a + 1} \right)}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x > \frac{2}{{2a + 1}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {\frac{2}{{2a + 1}};\,\infty } \right).\) Если \(2{a^2}-a-1 < 0\), то есть \(a\, \in \,\left( {-\frac{1}{2};1} \right)\), то: \(x < \frac{{2a-2}}{{2{a^2}-a-1}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x < \frac{{2\left( {a-1} \right)}}{{\left( {a-1} \right)\left( {2a + 1} \right)}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x < \frac{2}{{2a + 1}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;\,\frac{2}{{2a + 1}}} \right).\) ОТВЕТ: нет решений при \(a = 1;\) \(x \in R\) при \(a = -\frac{1}{2};\) \(x > \frac{2}{{2a + 1}}\) при \(a \in \left( {-\infty ;-\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right);\) \(x < \frac{2}{{2a + 1}}\) при \(a \in \left( {-\frac{1}{2};1} \right).\)