19В. При каких значениях параметра a решения системы уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2y = a,}\\{3x + \,y = 8}\end{array}} \right.\)  удовлетворяют условиям  \(x > \frac{1}{a},\,\,\,y > 0\)?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-8-\sqrt {71} ;0} \right) \cup \left( {-8 + \sqrt {71} ;\frac{8}{3}} \right).\)

Решение

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2y = a,}\\{3x + \,y = 8}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2y = a,}\\{y = 8-3x\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-16 + 6x = a,}\\{y = 8-3x\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{a + 16}}{7},\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{y = 8-3 \cdot \frac{{a + 16}}{7}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{a + 16}}{7},\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{y = \frac{{56-3a-48}}{7}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{a + 16}}{7},}\\{y = \frac{{8-3a}}{7}.}\end{array}} \right.\)

Так как по условию  \(x > \frac{1}{a},\,\,\;\,y > 0,\)  то:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a + 16}}{7} > \frac{1}{a},}\\{\frac{{8-3a}}{7} > 0\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{a^2} + 16a-7}}{{7a}} > 0,}\\{-3a > -8\;\,\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\left( {a + 8 + \sqrt {71} } \right)\left( {a + 8-\sqrt {71} } \right)}}{{7a}} > 0,}\\{a < \frac{8}{3}.\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\)

Решим первое неравенство полученной системы методом интервалов:

Следовательно,  \(a \in \left( {-8-\sqrt {71} ;0} \right) \cup \left( {-8 + \sqrt {71} ;\infty } \right).\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\left( {a + 8 + \sqrt {71} } \right)\left( {a + 8-\sqrt {71} } \right)}}{{7a}} > 0,}\\{a < \frac{8}{3}\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-8-\sqrt {71} ;0} \right) \cup \left( {-8 + \sqrt {71} ;\infty } \right),}\\{a \in \left( {-\infty ;\frac{8}{3}} \right).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\)

Общее решение последней системы:  \(a \in \left( {-8-\sqrt {71} ;0} \right) \cup \left( {-8 + \sqrt {71} ;\frac{8}{3}} \right).\)

Ответ:  \(\left( {-8-\sqrt {71} ;0} \right) \cup \left( {-8 + \sqrt {71} ;\frac{8}{3}} \right).\)